कैलकुलस उदाहरण

$x d x + \sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = 0$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x d x$ घटाएं.

$\sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = - x d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} \sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} (- x) d x$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} \sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} (- x) d x$

चरण 3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 d y = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} (- x) d x$

चरण 3.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$1 d y = - \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} x d x$

चरण 3.3

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = a$ और $b = x$ .

$1 d y = - \frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}} x d x$

चरण 3.4

$\frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ को $\frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ से गुणा करें.

$1 d y = - (\frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}) x d x$

चरण 3.5

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$\frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ को $\frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ से गुणा करें.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)} \sqrt{(a + x) (a - x)}} x d x$

चरण 3.5.2

$\sqrt{(a + x) (a - x)}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1} \sqrt{(a + x) (a - x)}} x d x$

चरण 3.5.3

$\sqrt{(a + x) (a - x)}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1} {\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1}} x d x$

चरण 3.5.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1 + 1}} x d x$

चरण 3.5.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{2}} x d x$

चरण 3.5.6

${\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{2}$ को $(a + x) (a - x)$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.6.1

$\sqrt{(a + x) (a - x)}$ को ${((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{({((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} x d x$

चरण 3.5.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} x d x$

चरण 3.5.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{\frac{2}{2}}} x d x$

चरण 3.5.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{\frac{2}{2}}} x d x$

चरण 3.5.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{1}} x d x$

चरण 3.5.6.5

सरल करें.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} x d x$

चरण 3.6

$x$ और $\frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)}$ को मिलाएं.

$1 d y = - \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

चरण 4

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d y = \int - \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

चरण 4.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

चरण 4.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = - \int \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

चरण 4.3.2

मान लीजिए $u = (a + x) (a - x)$ .फिर $d u = - 2 x d x$ , तो $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

मान लें $u = (a + x) (a - x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.1

$(a + x) (a - x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [(a + x) (a - x)]$

चरण 4.3.2.1.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = a + x$ और $g (x) = a - x$ है.

$(a + x) \frac{d}{d x} [a - x] + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

चरण 4.3.2.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $a - x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]$ है.

$(a + x) (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

चरण 4.3.2.1.3.2

चूंकि $x$ के संबंध में $a$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $a$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(a + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

चरण 4.3.2.1.3.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [- x]$ जोड़ें.

$(a + x) \frac{d}{d x} [- x] + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

चरण 4.3.2.1.3.4

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$(a + x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

चरण 4.3.2.1.3.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$(a + x) (- 1 \cdot 1) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

चरण 4.3.2.1.3.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.3.6.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$(a + x) \cdot - 1 + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

चरण 4.3.2.1.3.6.2

$- 1$ को $a + x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- 1 \cdot (a + x) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

चरण 4.3.2.1.3.6.3

$- 1 (a + x)$ को $- (a + x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$- (a + x) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

चरण 4.3.2.1.3.7

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $a + x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- (a + x) + (a - x) (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.3.2.1.3.8

चूंकि $x$ के संबंध में $a$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $a$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- (a + x) + (a - x) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.3.2.1.3.9

$0$ और $\frac{d}{d x} [x]$ जोड़ें.

$- (a + x) + (a - x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 4.3.2.1.3.10

$- (a + x) + (a - x) \cdot 1$

चरण 4.3.2.1.3.11

$a - x$ को $1$ से गुणा करें.

$- (a + x) + a - x$

चरण 4.3.2.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- a - x + a - x$

चरण 4.3.2.1.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.4.2.1

$- a$ और $a$ जोड़ें.

$- x + 0 - x$

चरण 4.3.2.1.4.2.2

$- x$ और $0$ जोड़ें.

$- x - x$

चरण 4.3.2.1.4.2.3

$- x$ में से $x$ घटाएं.

$- 2 x$

चरण 4.3.2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

चरण 4.3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{u} (- \frac{1}{2}) d u$

चरण 4.3.3.2

$\frac{\sqrt{u}}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = - \int - \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 2} d u$

चरण 4.3.3.3

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y + C_{1} = - \int - \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

चरण 4.3.4

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = - - \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

चरण 4.3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = 1 \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

चरण 4.3.5.2

$\int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$ को $1$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

चरण 4.3.6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

चरण 4.3.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.7.1

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

चरण 4.3.7.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.7.2.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ का उपयोग करके $u^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

चरण 4.3.7.2.2

घातांक जोड़कर $u$ को $u^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.7.2.2.1

$u$ को $u^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.7.2.2.1.1

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

चरण 4.3.7.2.2.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

चरण 4.3.7.2.2.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

चरण 4.3.7.2.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

चरण 4.3.7.2.2.4

$2$ में से $1$ घटाएं.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

चरण 4.3.7.3

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.7.3.1

$u^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

चरण 4.3.7.3.2

घातांक को ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.7.3.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

चरण 4.3.7.3.2.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

चरण 4.3.7.3.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 4.3.8

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 u^{\frac{1}{2}}$ है.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

चरण 4.3.9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.9.1

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ को $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

चरण 4.3.9.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.9.2.1

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

चरण 4.3.9.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.9.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

चरण 4.3.9.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

चरण 4.3.9.2.3

$u^{\frac{1}{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

चरण 4.3.10

$u$ की सभी घटनाओं को $(a + x) (a - x)$ से बदलें.

$y + C_{1} = {((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

चरण 4.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$y = {((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}} + K$