कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{2 x}$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनखंडों को पुनर्समूहन करें

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2} \cdot \frac{x + 1}{x}$

चरण 1.2

दोनों पक्षों को $\frac{2}{y}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (\frac{y}{2} \cdot \frac{x + 1}{x})$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$\frac{y}{2}$ को $\frac{x + 1}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{2 x}$

चरण 1.3.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{2 (x)}$

चरण 1.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{2 x}$

चरण 1.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{x}$

चरण 1.3.3

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{x}$

चरण 1.3.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{x}$

चरण 1.4

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{2}{y} d y = \frac{x + 1}{x} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{2}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूँकि $2$ बटे $y$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

चरण 2.2.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{x + 1}{x} d x$

चरण 2.2.3

सरल करें.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

भिन्न को अनेक भिन्नों में विभाजित करें.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x} + \frac{1}{x} d x$

चरण 2.3.2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

चरण 2.3.3

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

चरण 2.3.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int \frac{1}{x} d x$

चरण 2.3.4

स्थिरांक नियम लागू करें.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

चरण 2.3.5

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

चरण 2.3.6

सरल करें.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$2 \ln (| y |) = x + \ln (| x |) + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$2 \ln (| y |) - \ln (| x |) = x + C$

चरण 3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$2 \ln (| y |) - \ln (| x |)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.1

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \ln (| y |)$ को सरल करें.

$\ln ({| y |}^{2}) - \ln (| x |) = x + C$

चरण 3.2.1.1.2

${| y |}^{2}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$\ln (y^{2}) - \ln (| x |) = x + C$

चरण 3.2.1.2

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{y^{2}}{| x |}) = x + C$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (\frac{y^{2}}{| x |})} = e^{x + C}$

चरण 3.4

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (\frac{y^{2}}{| x |}) = x + C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{x + C} = \frac{y^{2}}{| x |}$

चरण 3.5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

समीकरण को $\frac{y^{2}}{| x |} = e^{x + C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{y^{2}}{| x |} = e^{x + C}$

चरण 3.5.2

दोनों पक्षों को $| x |$ से गुणा करें.

$\frac{y^{2}}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

चरण 3.5.3

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1

$| x |$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y^{2}}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

चरण 3.5.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y^{2} = e^{x + C} | x |$

चरण 3.5.4

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.1

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$y = \pm \sqrt{e^{x + C} | x |}$

चरण 3.5.4.2

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.2.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

चरण 3.5.4.2.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

चरण 3.5.4.2.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

चरण 4

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$e^{x + C}$ को $e^{x} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \sqrt{e^{x} e^{C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

चरण 4.2

$e^{x}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

चरण 4.3

$e^{x + C}$ को $e^{x} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x} e^{C} | x |}$

चरण 4.4

$e^{x}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$