कैलकुलस उदाहरण

$(x e^{y} + y - x^{2}) d y = (2 x y - e^{y} - x) d x$

चरण 1

सटीक डिफरेन्शल इक्वेश़न तकनीक को फिट करने के लिए डिफरेन्शल इक्वेश़न को फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $(2 x y - e^{y} - x) d x$ घटाएं.

$(x e^{y} + y - x^{2}) d y - (2 x y - e^{y} - x) d x = 0$

चरण 1.2

फिर से लिखें.

$- (2 x y - e^{y} - x) d x + (x e^{y} + y - x^{2}) d y = 0$

चरण 2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = - (2 x y - e^{y} - x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (2 x y - e^{y} - x)]$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $- 1$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- (2 x y - e^{y} - x)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d y} [2 x y - e^{y} - x]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [2 x y - e^{y} - x]$

चरण 2.2.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $2 x y - e^{y} - x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

चरण 2.2.3

चूंकि $2 x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 x y$ का व्युत्पन्न $2 x \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

चरण 2.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

चरण 2.2.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

चरण 2.2.6

चूंकि $- 1$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- e^{y}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d y} [e^{y}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x - \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

चरण 2.3

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ $a^{y} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x - e^{y} + \frac{d}{d y} [- x])$

चरण 2.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चूंकि $y$ के संबंध में $- x$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x - e^{y} + 0)$

चरण 2.4.2

$2 x - e^{y}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x - e^{y})$

चरण 2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x) - - e^{y}$

चरण 2.5.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x - - e^{y}$

चरण 2.5.2.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x + 1 e^{y}$

चरण 2.5.2.3

$e^{y}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x + e^{y}$

चरण 3

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = x e^{y} + y - x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{y} + y - x^{2}]$

चरण 3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x e^{y} + y - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 3.3

$\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चूंकि $e^{y}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $x e^{y}$ का व्युत्पन्न $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 3.3.3

$e^{y}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 3.5

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + 0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.5.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + 0 - (2 x)$

चरण 3.5.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + 0 - 2 x$

चरण 3.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$e^{y}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} - 2 x$

चरण 3.6.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x + e^{y}$

चरण 4

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $- 2 x + e^{y}$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $- 2 x + e^{y}$ प्रतिस्थापित करें.

$- 2 x + e^{y} = - 2 x + e^{y}$

चरण 4.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$- 2 x + e^{y} = - 2 x + e^{y}$ एक सर्वसमिका है.

चरण 5

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int x e^{y} + y - x^{2} d y$

चरण 6

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = x e^{y} + y - x^{2}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = \int x e^{y} d y + \int y d y + \int - x^{2} d y$

चरण 6.2

चूँकि $x$ बटे $y$ अचर है, $x$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = x \int e^{y} d y + \int y d y + \int - x^{2} d y$

चरण 6.3

$y$ के संबंध में $e^{y}$ का इंटीग्रल $e^{y}$ है.

$f (x, y) = x (e^{y} + C) + \int y d y + \int - x^{2} d y$

चरण 6.4

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$f (x, y) = x (e^{y} + C) + \frac{1}{2} y^{2} + C + \int - x^{2} d y$

चरण 6.5

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = x (e^{y} + C) + \frac{1}{2} y^{2} + C - x^{2} y + C$

चरण 6.6

सरल करें.

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + C$

चरण 7

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = - (2 x y - e^{y} - x)$

चरण 9

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

चरण 9.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

चरण 9.3

$\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

$e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

चरण 9.3.2

$e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

चरण 9.3.3

$e^{y}$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{y} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

चरण 9.4

चूंकि $x$ के संबंध में $\frac{1}{2} y^{2}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{1}{2} y^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$e^{y} + 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

चरण 9.5

$\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.5.1

चूंकि $- y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2} y$ का व्युत्पन्न $- y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$e^{y} + 0 - y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

चरण 9.5.2

$e^{y} + 0 - y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

चरण 9.5.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{y} + 0 - 2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

चरण 9.6

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$e^{y} + 0 - 2 y x + \frac{d g}{d x} = - (2 x y - e^{y} - x)$

चरण 9.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.7.1

$e^{y}$ और $0$ जोड़ें.

$e^{y} - 2 y x + \frac{d g}{d x} = - (2 x y - e^{y} - x)$

चरण 9.7.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - (2 x y - e^{y} - x)$

चरण 10

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

$- (2 x y - e^{y} - x)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1.1

फिर से लिखें.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = 0 + 0 - (2 x y - e^{y} - x)$

चरण 10.1.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - (2 x y - e^{y} - x)$

चरण 10.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - (2 x y) - - e^{y} - - x$

चरण 10.1.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1.4.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) - - e^{y} - - x$

चरण 10.1.1.4.2

$- - e^{y}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1.4.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) + 1 e^{y} - - x$

चरण 10.1.1.4.2.2

$e^{y}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) + e^{y} - - x$

चरण 10.1.1.4.3

$- - x$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1.4.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) + e^{y} + 1 x$

चरण 10.1.1.4.3.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) + e^{y} + x$

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 x y + e^{y} + x$

चरण 10.1.2

$\frac{d g}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $2 x y$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} + e^{y} = - 2 x y + e^{y} + x + 2 x y$

चरण 10.1.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $e^{y}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = - 2 x y + e^{y} + x + 2 x y - e^{y}$

चरण 10.1.2.3

$- 2 x y + e^{y} + x + 2 x y - e^{y}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.2.3.1

$- 2 x y$ और $2 x y$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = e^{y} + x + 0 - e^{y}$

चरण 10.1.2.3.2

$e^{y} + x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = e^{y} + x - e^{y}$

चरण 10.1.2.3.3

$e^{y}$ में से $e^{y}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

चरण 10.1.2.3.4

$x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = x$

चरण 11

$g (x)$ को खोजने के लिए $x$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$\frac{d g}{d x} = x$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

चरण 11.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int x d x$

चरण 11.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 12

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 13

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{1}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{y^{2}}{2} - x^{2} y + \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 13.2

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{y^{2}}{2} - x^{2} y + \frac{x^{2}}{2} + C$