कैलकुलस उदाहरण

$(3 e^{x} y + x) d x + e^{x} d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = 3 e^{x} y + x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 e^{x} y + x]$

चरण 1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $3 e^{x} y + x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [3 e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [3 e^{x} y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $3 e^{x}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $3 e^{x} y$ का व्युत्पन्न $3 e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x]$

चरण 1.3.3

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} + \frac{d}{d y} [x]$

चरण 1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

चूंकि $y$ के संबंध में $x$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} + 0$

चरण 1.4.2

$3 e^{x}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x}$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = e^{x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x}$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $3 e^{x}$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $e^{x}$ प्रतिस्थापित करें.

$3 e^{x} = e^{x}$

चरण 3.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$3 e^{x} = e^{x}$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$3 e^{x}$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{3 e^{x} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

चरण 4.2

$e^{x}$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{3 e^{x} - e^{x}}{N}$

चरण 4.3

$e^{x}$ को $N$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$e^{x}$ को $N$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{3 e^{x} - e^{x}}{e^{x}}$

चरण 4.3.2

$3 e^{x}$ में से $e^{x}$ घटाएं.

$\frac{2 e^{x}}{e^{x}}$

चरण 4.3.3

$e^{x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 e^{x}}{e^{x}}$

चरण 4.3.3.2

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$2$

चरण 4.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int 2 d x}$

चरण 5

इंटिग्रल $e^{\int 2 d x}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

स्थिरांक नियम लागू करें.

$μ (x, y) = e^{2 x + C}$

चरण 5.2

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{2 x} + C$

चरण 6

$(3 e^{x} y + x) d x + e^{x} d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $e^{2 x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$3 e^{x} y + x$ को $e^{2 x}$ से गुणा करें.

$(3 e^{x} y + x) e^{2 x} d x + e^{x} d y = 0$

चरण 6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(3 e^{x} y e^{2 x} + x e^{2 x}) d x + e^{x} d y = 0$

चरण 6.3

घातांक जोड़कर $e^{x}$ को $e^{2 x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$e^{2 x}$ ले जाएं.

$(3 (e^{2 x} e^{x}) y + x e^{2 x}) d x + e^{x} d y = 0$

चरण 6.3.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$(3 e^{2 x + x} y + x e^{2 x}) d x + e^{x} d y = 0$

चरण 6.3.3

$2 x$ और $x$ जोड़ें.

$(3 e^{3 x} y + x e^{2 x}) d x + e^{x} d y = 0$

चरण 6.4

गुणनखंडों को $3 e^{3 x} y + x e^{2 x}$ में पुन: क्रमित करें.

$(3 y e^{3 x} + x e^{2 x}) d x + e^{x} d y = 0$

चरण 6.5

$e^{x}$ को $e^{2 x}$ से गुणा करें.

$(3 y e^{3 x} + x e^{2 x}) d x + e^{x} e^{2 x} d y = 0$

चरण 6.6

घातांक जोड़कर $e^{x}$ को $e^{2 x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$(3 y e^{3 x} + x e^{2 x}) d x + e^{x + 2 x} d y = 0$

चरण 6.6.2

$x$ और $2 x$ जोड़ें.

$(3 y e^{3 x} + x e^{2 x}) d x + e^{3 x} d y = 0$

चरण 7

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int e^{3 x} d y$

चरण 8

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = e^{3 x}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = e^{3 x} y + C$

चरण 9

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = e^{3 x} y + g (x)$

चरण 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y + g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

चरण 11.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{3 x} y + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

चरण 11.3

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

चूंकि $y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $e^{3 x} y$ का व्युत्पन्न $y \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ है.

$y \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

चरण 11.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 3 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $3 x$ के रूप में सेट करें.

$y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

चरण 11.3.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$y (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

चरण 11.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x$ से बदलें.

$y (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

चरण 11.3.3

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$y (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

चरण 11.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$y (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

चरण 11.3.5

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$y (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

चरण 11.3.6

$3$ को $e^{3 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

चरण 11.3.7

$3$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$3 y e^{3 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

चरण 11.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$3 y e^{3 x} + \frac{d g}{d x} = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

चरण 11.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.5.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} + 3 e^{3 x} y = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

चरण 11.5.2

गुणनखंडों को $\frac{d g}{d x} + 3 e^{3 x} y$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{d g}{d x} + 3 y e^{3 x} = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

चरण 12

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{d g}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $3 y e^{3 x}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x} - 3 y e^{3 x}$

चरण 12.1.2

$3 y e^{3 x} + x e^{2 x} - 3 y e^{3 x}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.2.1

$3 y e^{3 x}$ में से $3 y e^{3 x}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = x e^{2 x} + 0$

चरण 12.1.2.2

$x e^{2 x}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = x e^{2 x}$

चरण 13

$g (x)$ को खोजने के लिए $x e^{2 x}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{d g}{d x} = x e^{2 x}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x e^{2 x} d x$

चरण 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int x e^{2 x} d x$

चरण 13.3

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = e^{2 x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$g (x) = x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

चरण 13.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.4.1

$\frac{1}{2}$ और $e^{2 x}$ को मिलाएं.

$g (x) = x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

चरण 13.4.2

$x$ और $\frac{e^{2 x}}{2}$ को मिलाएं.

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

चरण 13.5

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)$

चरण 13.6

कोष्ठक हटा दें.

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2 x} d x$

चरण 13.7

मान लीजिए $u = 2 x$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.7.1

मान लें $u = 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.7.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 13.7.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 13.7.1.3

$2 \cdot 1$

चरण 13.7.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 13.7.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

चरण 13.8

$e^{u}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

चरण 13.9

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

चरण 13.10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.10.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

चरण 13.10.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

चरण 13.11

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

चरण 13.12

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ को $\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$g (x) = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

चरण 13.13

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$g (x) = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

चरण 14

$f (x, y) = e^{3 x} y + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = e^{3 x} y + \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

चरण 15

$f (x, y) = e^{3 x} y + \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1.1

$\frac{1}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$f (x, y) = e^{3 x} y + \frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

चरण 15.1.2

$\frac{x}{2}$ और $e^{2 x}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = e^{3 x} y + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

चरण 15.1.3

$e^{2 x}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = e^{3 x} y + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + C$

चरण 15.2

गुणनखंडों को $f (x, y) = e^{3 x} y + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + C$ में पुन: क्रमित करें.

$f (x, y) = y e^{3 x} + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + C$