कैलकुलस उदाहरण

$(1 + e^{2 y}) d x + (2 x e^{2 y}) d y = 0$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $(1 + e^{2 y}) d x$ घटाएं.

$2 x e^{2 y} d y = - (1 + e^{2 y}) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{x (1 + e^{2 y})}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (2 x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$2 \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

चरण 3.2

$2$ और $\frac{1}{x (1 + e^{2 y})}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{x (1 + e^{2 y})} (x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

चरण 3.3

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$x e^{2 y}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2}{x (1 + e^{2 y})} (x (e^{2 y})) d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

चरण 3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{x (1 + e^{2 y})} (x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

चरण 3.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2}{1 + e^{2 y}} e^{2 y} d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

चरण 3.4

$\frac{2}{1 + e^{2 y}}$ और $e^{2 y}$ को मिलाएं.

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

चरण 3.5

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = - \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (1 + e^{2 y}) d x$

चरण 3.6

$1 + e^{2 y}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$- \frac{1}{x (1 + e^{2 y})}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \frac{- 1}{x (1 + e^{2 y})} (1 + e^{2 y}) d x$

चरण 3.6.2

$x (1 + e^{2 y})$ में से $1 + e^{2 y}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \frac{- 1}{(1 + e^{2 y}) x} (1 + e^{2 y}) d x$

चरण 3.6.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \frac{- 1}{(1 + e^{2 y}) x} (1 + e^{2 y}) d x$

चरण 3.6.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \frac{- 1}{x} d x$

चरण 3.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = - \frac{1}{x} d x$

चरण 4

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

चूँकि $2$ बटे $y$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int \frac{e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2.2

मान लीजिए $u_{2} = 1 + e^{2 y}$ .फिर $d u_{2} = 2 e^{2 y} d y$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 y} d y$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

मान लें $u_{2} = 1 + e^{2 y}$ . $\frac{d u_{2}}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.1

$1 + e^{2 y}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [1 + e^{2 y}]$

चरण 4.2.2.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $1 + e^{2 y}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ है.

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$

चरण 4.2.2.1.2.2

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$

चरण 4.2.2.1.3

$\frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = e^{y}$ और $g (y) = 2 y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $2 y$ के रूप में सेट करें.

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [2 y]$

चरण 4.2.2.1.3.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [2 y]$

चरण 4.2.2.1.3.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 y$ से बदलें.

$0 + e^{2 y} \frac{d}{d y} [2 y]$

चरण 4.2.2.1.3.2

चूंकि $2$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 y$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d y} [y]$ है.

$0 + e^{2 y} (2 \frac{d}{d y} [y])$

चरण 4.2.2.1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 + e^{2 y} (2 \cdot 1)$

चरण 4.2.2.1.3.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$0 + e^{2 y} \cdot 2$

चरण 4.2.2.1.3.5

$2$ को $e^{2 y}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$0 + 2 e^{2 y}$

चरण 4.2.2.1.4

$0$ और $2 e^{2 y}$ जोड़ें.

$2 e^{2 y}$

चरण 4.2.2.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1

$\frac{1}{u_{2}}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2.3.2

$2$ को $u_{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2.4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.5.1

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2.5.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.5.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2.5.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2.5.3

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2.6

$u_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{2} |)$ है.

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2.7

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $1 + e^{2 y}$ से बदलें.

$\ln (| 1 + e^{2 y} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| 1 + e^{2 y} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

चरण 4.3.2

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$\ln (| 1 + e^{2 y} |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

चरण 4.3.3

सरल करें.

$\ln (| 1 + e^{2 y} |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

चरण 4.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| 1 + e^{2 y} |) = - \ln (| x |) + C$