कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y - 1}{x + 2}$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दोनों पक्षों को $\frac{1}{2 y - 1}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y - 1} \cdot \frac{2 y - 1}{x + 2}$

चरण 1.2

$2 y - 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2 y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y - 1} \cdot \frac{2 y - 1}{x + 2}$

चरण 1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2 y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + 2}$

चरण 1.3

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2 y - 1} d y = \frac{1}{x + 2} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{2 y - 1} d y = \int \frac{1}{x + 2} d x$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

मान लीजिए $u_{1} = 2 y - 1$ .फिर $d u_{1} = 2 d y$ , तो $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

मान लें $u_{1} = 2 y - 1$ . $\frac{d u_{1}}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.1

$2 y - 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [2 y - 1]$

चरण 2.2.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $2 y - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

चरण 2.2.1.1.3

$\frac{d}{d y} [2 y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.3.1

चूंकि $2$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 y$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d y} [y]$ है.

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

चरण 2.2.1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

चरण 2.2.1.1.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + \frac{d}{d y} [- 1]$

चरण 2.2.1.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.4.1

चूंकि $y$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 + 0$

चरण 2.2.1.1.4.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$2$

चरण 2.2.1.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 2} d x$

चरण 2.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

$\frac{1}{u_{1}}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 2} d x$

चरण 2.2.2.2

$2$ को $u_{1}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 2} d x$

चरण 2.2.3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 2} d x$

चरण 2.2.4

$u_{1}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{1}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{1} |)$ है.

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x + 2} d x$

चरण 2.2.5

सरल करें.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x + 2} d x$

चरण 2.2.6

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 y - 1$ से बदलें.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x + 2} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

मान लीजिए $u_{2} = x + 2$ . फिर $d u_{2} = d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

मान लें $u_{2} = x + 2$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.1

$x + 2$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

चरण 2.3.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 2.3.1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 2.3.1.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 2.3.1.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 2.3.1.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 2.3.2

$u_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{2} |)$ है.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 1 |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

चरण 2.3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x + 2$ से बदलें.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 1 |) + C_{1} = \ln (| x + 2 |) + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 1 |) = \ln (| x + 2 |) + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 1 |)) = 2 (\ln (| x + 2 |) + C)$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 1 |))$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ और $\ln (| 2 y - 1 |)$ को मिलाएं.

$2 \frac{\ln (| 2 y - 1 |)}{2} = 2 (\ln (| x + 2 |) + C)$

चरण 3.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{\ln (| 2 y - 1 |)}{2} = 2 (\ln (| x + 2 |) + C)$

चरण 3.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| 2 y - 1 |) = 2 (\ln (| x + 2 |) + C)$

चरण 3.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\ln (| 2 y - 1 |) = 2 \ln (| x + 2 |) + 2 C$

चरण 3.3

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| 2 y - 1 |) - 2 \ln (| x + 2 |) = 2 C$

चरण 3.4

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$\ln (| 2 y - 1 |) - 2 \ln (| x + 2 |)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1.1

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- 2 \ln (| x + 2 |)$ को सरल करें.

$\ln (| 2 y - 1 |) - \ln ({| x + 2 |}^{2}) = 2 C$

चरण 3.4.1.1.2

${| x + 2 |}^{2}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$\ln (| 2 y - 1 |) - \ln ({(x + 2)}^{2}) = 2 C$

चरण 3.4.1.2

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{| 2 y - 1 |}{{(x + 2)}^{2}}) = 2 C$

चरण 3.5

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (\frac{| 2 y - 1 |}{{(x + 2)}^{2}})} = e^{2 C}$

चरण 3.6

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (\frac{| 2 y - 1 |}{{(x + 2)}^{2}}) = 2 C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{2 C} = \frac{| 2 y - 1 |}{{(x + 2)}^{2}}$

चरण 3.7

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

समीकरण को $\frac{| 2 y - 1 |}{{(x + 2)}^{2}} = e^{2 C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{| 2 y - 1 |}{{(x + 2)}^{2}} = e^{2 C}$

चरण 3.7.2

दोनों पक्षों को ${(x + 2)}^{2}$ से गुणा करें.

$\frac{| 2 y - 1 |}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = e^{2 C} {(x + 2)}^{2}$

चरण 3.7.3

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.3.1

${(x + 2)}^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{| 2 y - 1 |}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = e^{2 C} {(x + 2)}^{2}$

चरण 3.7.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$| 2 y - 1 | = e^{2 C} {(x + 2)}^{2}$

चरण 3.7.4

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.4.1

$e^{2 C} {(x + 2)}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.4.1.1

${(x + 2)}^{2}$ को $(x + 2) (x + 2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$| 2 y - 1 | = e^{2 C} ((x + 2) (x + 2))$

चरण 3.7.4.1.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + 2) (x + 2)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.4.1.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$| 2 y - 1 | = e^{2 C} (x (x + 2) + 2 (x + 2))$

चरण 3.7.4.1.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$| 2 y - 1 | = e^{2 C} (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))$

चरण 3.7.4.1.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$| 2 y - 1 | = e^{2 C} (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

चरण 3.7.4.1.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.4.1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.4.1.3.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$| 2 y - 1 | = e^{2 C} (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

चरण 3.7.4.1.3.1.2

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$| 2 y - 1 | = e^{2 C} (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)$

चरण 3.7.4.1.3.1.3

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$| 2 y - 1 | = e^{2 C} (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)$

चरण 3.7.4.1.3.2

$2 x$ और $2 x$ जोड़ें.

$| 2 y - 1 | = e^{2 C} (x^{2} + 4 x + 4)$

चरण 3.7.4.1.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$| 2 y - 1 | = e^{2 C} x^{2} + e^{2 C} (4 x) + e^{2 C} \cdot 4$

चरण 3.7.4.1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.4.1.5.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$| 2 y - 1 | = e^{2 C} x^{2} + 4 e^{2 C} x + e^{2 C} \cdot 4$

चरण 3.7.4.1.5.2

$4$ को $e^{2 C}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$| 2 y - 1 | = e^{2 C} x^{2} + 4 e^{2 C} x + 4 \cdot e^{2 C}$

चरण 3.7.4.1.6

गुणनखंडों को $e^{2 C} x^{2} + 4 e^{2 C} x + 4 e^{2 C}$ में पुन: क्रमित करें.

$| 2 y - 1 | = x^{2} e^{2 C} + 4 x e^{2 C} + 4 e^{2 C}$

चरण 3.7.4.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$2 y - 1 = \pm (x^{2} e^{2 C} + 4 x e^{2 C} + 4 e^{2 C})$

चरण 3.7.4.3

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$2 y = \pm (x^{2} e^{2 C} + 4 x e^{2 C} + 4 e^{2 C}) + 1$

चरण 3.7.4.4

$2 y = \pm (x^{2} e^{2 C} + 4 x e^{2 C} + 4 e^{2 C}) + 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.4.4.1

$2 y = \pm (x^{2} e^{2 C} + 4 x e^{2 C} + 4 e^{2 C}) + 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm (x^{2} e^{2 C} + 4 x e^{2 C} + 4 e^{2 C})}{2} + \frac{1}{2}$

चरण 3.7.4.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.4.4.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.4.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm (x^{2} e^{2 C} + 4 x e^{2 C} + 4 e^{2 C})}{2} + \frac{1}{2}$

चरण 3.7.4.4.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\pm (x^{2} e^{2 C} + 4 x e^{2 C} + 4 e^{2 C})}{2} + \frac{1}{2}$

चरण 3.7.4.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.4.4.3.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{\pm (x^{2} e^{2 C} + 4 x e^{2 C} + 4 e^{2 C}) + 1}{2}$

चरण 4

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \frac{\pm (x^{2} C + 4 x C + C) + 1}{2}$