कैलकुलस उदाहरण

$y^{3} \frac{d y}{d x} = (y^{4} + 1) \cos (x)$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दोनों पक्षों को $\frac{1}{y^{4} + 1}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y^{4} + 1} (y^{3} \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{4} + 1} ((y^{4} + 1) \cos (x))$

चरण 1.2

$y^{4} + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$(y^{4} + 1) \cos (x)$ में से $y^{4} + 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y^{4} + 1} (y^{3} \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{4} + 1} ((y^{4} + 1) (\cos (x)))$

चरण 1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y^{4} + 1} (y^{3} \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{4} + 1} ((y^{4} + 1) \cos (x))$

चरण 1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y^{4} + 1} (y^{3} \frac{d y}{d x}) = \cos (x)$

चरण 1.3

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$\frac{1}{y^{4} + 1} y^{3} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

चरण 1.4

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y^{4} + 1} y^{3} d y = \cos (x) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y^{4} + 1} y^{3} d y = \int \cos (x) d x$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

$\frac{1}{y^{4} + 1}$ और $y^{3}$ को मिलाएं.

$\int \frac{y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \int \cos (x) d x$

चरण 2.2.1.2

$y^{4}$ को ${(y^{4})}^{1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int \frac{y^{3}}{{(y^{4})}^{1} + 1} d y = \int \cos (x) d x$

चरण 2.2.2

मान लीजिए $u_{1} = y^{4}$ .फिर $d u_{1} = 4 y^{3} d y$ , तो $\frac{1}{4} d u_{1} = y^{3} d y$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

मान लें $u_{1} = y^{4}$ . $\frac{d u_{1}}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1

$y^{4}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [y^{4}]$

चरण 2.2.2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$4 y^{3}$

चरण 2.2.2.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} = \int \cos (x) d x$

चरण 2.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

सरल करें.

$\int \frac{1}{u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} = \int \cos (x) d x$

चरण 2.2.3.2

$\frac{1}{u_{1} + 1}$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$\int \frac{1}{(u_{1} + 1) \cdot 4} d u_{1} = \int \cos (x) d x$

चरण 2.2.3.3

$4$ को $u_{1} + 1$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{1}{4 (u_{1} + 1)} d u_{1} = \int \cos (x) d x$

चरण 2.2.4

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1} = \int \cos (x) d x$

चरण 2.2.5

मान लीजिए $u_{2} = u_{1} + 1$ . फिर $d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.1

मान लें $u_{2} = u_{1} + 1$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.1.1

$u_{1} + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

चरण 2.2.5.1.2

योग नियम के अनुसार, $u_{1}$ के संबंध में $u_{1} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ है.

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

चरण 2.2.5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

चरण 2.2.5.1.4

चूंकि $u_{1}$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $u_{1}$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 2.2.5.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 2.2.5.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int \cos (x) d x$

चरण 2.2.6

$u_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{2} |)$ है.

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{1}) = \int \cos (x) d x$

चरण 2.2.7

सरल करें.

$\frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int \cos (x) d x$

चरण 2.2.8

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.8.1

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $u_{1} + 1$ से बदलें.

$\frac{1}{4} \ln (| u_{1} + 1 |) + C_{1} = \int \cos (x) d x$

चरण 2.2.8.2

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $y^{4}$ से बदलें.

$\frac{1}{4} \ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = \int \cos (x) d x$

चरण 2.3

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का इंटीग्रल $\sin (x)$ है.

$\frac{1}{4} \ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = \sin (x) + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{4} \ln (| y^{4} + 1 |) = \sin (x) + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $4$ से गुणा करें.

$4 (\frac{1}{4} \ln (| y^{4} + 1 |)) = 4 (\sin (x) + C)$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$4 (\frac{1}{4} \ln (| y^{4} + 1 |))$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.1

$\frac{1}{4}$ और $\ln (| y^{4} + 1 |)$ को मिलाएं.

$4 \frac{\ln (| y^{4} + 1 |)}{4} = 4 (\sin (x) + C)$

चरण 3.2.1.1.2

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 \frac{\ln (| y^{4} + 1 |)}{4} = 4 (\sin (x) + C)$

चरण 3.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| y^{4} + 1 |) = 4 (\sin (x) + C)$

चरण 3.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\ln (| y^{4} + 1 |) = 4 \sin (x) + 4 C$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| y^{4} + 1 |)} = e^{4 \sin (x) + 4 C}$

चरण 3.4

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| y^{4} + 1 |) = 4 \sin (x) + 4 C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{4 \sin (x) + 4 C} = | y^{4} + 1 |$

चरण 3.5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

समीकरण को $| y^{4} + 1 | = e^{4 \sin (x) + 4 C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| y^{4} + 1 | = e^{4 \sin (x) + 4 C}$

चरण 3.5.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y^{4} + 1 = \pm e^{4 \sin (x) + 4 C}$

चरण 3.5.3

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$y^{4} = \pm e^{4 \sin (x) + 4 C} - 1$

चरण 3.5.4

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$y = \pm \sqrt[4]{\pm e^{4 \sin (x) + 4 C} - 1}$

चरण 4

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \pm \sqrt[4]{\pm e^{4 \sin (x) + C} - 1}$

चरण 4.2

$e^{4 \sin (x) + C}$ को $e^{4 \sin (x)} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm \sqrt[4]{\pm e^{4 \sin (x)} e^{C} - 1}$

चरण 4.3

$e^{4 \sin (x)}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \pm \sqrt[4]{\pm e^{C} e^{4 \sin (x)} - 1}$

चरण 4.4

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = \pm \sqrt[4]{C e^{4 \sin (x)} - 1}$