कैलकुलस उदाहरण

$y d x = (y e^{y} - 2 x) d y$

चरण 1

सटीक डिफरेन्शल इक्वेश़न तकनीक को फिट करने के लिए डिफरेन्शल इक्वेश़न को फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $(y e^{y} - 2 x) d y$ घटाएं.

$y d x - (y e^{y} - 2 x) d y = 0$

चरण 2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

चरण 3

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = - (y e^{y} - 2 x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (y e^{y} - 2 x)]$

चरण 3.2

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- (y e^{y} - 2 x)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [y e^{y} - 2 x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [y e^{y} - 2 x]$

चरण 3.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $y e^{y} - 2 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [y e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [y e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

चरण 3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $y e^{y}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $y e^{y}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

चरण 3.5

$0$ और $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- 2 x]$

चरण 3.6

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.7

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot 1$

चरण 3.9

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2$

चरण 4

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $1$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $2$ प्रतिस्थापित करें.

$1 = 2$

चरण 4.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$1 = 2$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 5

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$2$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

चरण 5.2

$1$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{2 - 1}{M}$

चरण 5.3

$y$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$y$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{2 - 1}{y}$

चरण 5.3.2

$y$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{1}{y}$

चरण 5.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

चरण 6

इंटिग्रल $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

चरण 6.2

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

चरण 6.2.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$μ (x, y) = | y | + C$

चरण 7

$y d x - (y e^{y} - 2 x) d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$y$ को $y$ से गुणा करें.

$y \cdot y d x - (y e^{y} - 2 x) d y = 0$

चरण 7.2

$y$ को $y$ से गुणा करें.

$y^{2} d x - (y e^{y} - 2 x) d y = 0$

चरण 7.3

$- (y e^{y} - 2 x)$ को $y$ से गुणा करें.

$y^{2} d x - (y e^{y} - 2 x) y d y = 0$

चरण 7.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y^{2} d x + (- (y e^{y}) - (- 2 x)) y d y = 0$

चरण 7.5

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y^{2} d x + (- y e^{y} + 2 x) y d y = 0$

चरण 7.6

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y^{2} d x + (- y e^{y} y + 2 x y) d y = 0$

चरण 7.7

घातांक जोड़कर $y$ को $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.7.1

$y$ ले जाएं.

$y^{2} d x + (- (y \cdot y) e^{y} + 2 x y) d y = 0$

चरण 7.7.2

$y$ को $y$ से गुणा करें.

$y^{2} d x + (- y^{2} e^{y} + 2 x y) d y = 0$

चरण 8

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int y^{2} d x$

चरण 9

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = y^{2}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = y^{2} x + C$

चरण 10

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = y^{2} x + g (y)$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

चरण 12

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [y^{2} x + g (y)] = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

चरण 12.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{2} x + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

चरण 12.3

$\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $y^{2} x$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

चरण 12.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$x (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

चरण 12.3.3

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

चरण 12.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$2 x y + \frac{d g}{d y} = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

चरण 12.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

चरण 13

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 x y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = - y^{2} e^{y} + 2 x y - 2 x y$

चरण 13.1.2

$- y^{2} e^{y} + 2 x y - 2 x y$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.2.1

$2 x y$ में से $2 x y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = - y^{2} e^{y} + 0$

चरण 13.1.2.2

$- y^{2} e^{y}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = - y^{2} e^{y}$

चरण 14

$g (y)$ को खोजने के लिए $- y^{2} e^{y}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$\frac{d g}{d y} = - y^{2} e^{y}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y^{2} e^{y} d y$

चरण 14.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int - y^{2} e^{y} d y$

चरण 14.3

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = - \int y^{2} e^{y} d y$

चरण 14.4

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = y^{2}$ और $d v = e^{y}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - \int e^{y} (2 y) d y)$

चरण 14.5

चूँकि $2$ बटे $y$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - (2 \int e^{y} (y) d y))$

चरण 14.6

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - 2 \int e^{y} (y) d y)$

चरण 14.7

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = y$ और $d v = e^{y}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - 2 (y e^{y} - \int e^{y} d y))$

चरण 14.8

$y$ के संबंध में $e^{y}$ का इंटीग्रल $e^{y}$ है.

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - 2 (y e^{y} - (e^{y} + C)))$

चरण 14.9

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.9.1

$- (y^{2} e^{y} - 2 (y e^{y} - (e^{y} + C)))$ को $- (y^{2} e^{y} - 2 y e^{y} + 2 e^{y}) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - 2 y e^{y} + 2 e^{y}) + C$

चरण 14.9.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.9.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$g (y) = - (y^{2} e^{y}) - (- 2 y e^{y}) - (2 e^{y}) + C$

चरण 14.9.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.9.2.2.1

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$g (y) = - y^{2} e^{y} + 2 (y e^{y}) - (2 e^{y}) + C$

चरण 14.9.2.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$g (y) = - y^{2} e^{y} + 2 (y e^{y}) - 2 e^{y} + C$

$g (y) = - y^{2} e^{y} + 2 y e^{y} - 2 e^{y} + C$

चरण 15

$f (x, y) = y^{2} x + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = y^{2} x - y^{2} e^{y} + 2 y e^{y} - 2 e^{y} + C$