कैलकुलस उदाहरण

$(e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x)) d x + (e^{x} \cos (y) + 2 \cos (x)) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x)]$

चरण 1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [e^{x} \sin (y)] + \frac{d}{d y} [- 2 y \sin (x)]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x} \sin (y)] + \frac{d}{d y} [- 2 y \sin (x)]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [e^{x} \sin (y)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $e^{x}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $e^{x} \sin (y)$ का व्युत्पन्न $e^{x} \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [- 2 y \sin (x)]$

चरण 1.3.2

$y$ के संबंध में $\sin (y)$ का व्युत्पन्न $\cos (y)$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} \cos (y) + \frac{d}{d y} [- 2 y \sin (x)]$

चरण 1.4

$\frac{d}{d y} [- 2 y \sin (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

चूंकि $- 2 \sin (x)$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- 2 y \sin (x)$ का व्युत्पन्न $- 2 \sin (x) \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} \cos (y) - 2 \sin (x) \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} \cos (y) - 2 \sin (x) \cdot 1$

चरण 1.4.3

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} \cos (y) - 2 \sin (x)$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = e^{x} \cos (y) + 2 \cos (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (y) + 2 \cos (x)]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{x} \cos (y) + 2 \cos (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (y)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (y)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (y)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $\cos (y)$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $e^{x} \cos (y)$ का व्युत्पन्न $\cos (y) \frac{d}{d x} [e^{x}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

चरण 2.3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) e^{x} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

चरण 2.4

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 \cos (x)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) e^{x} + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 2.4.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) e^{x} + 2 (- \sin (x))$

चरण 2.4.3

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) e^{x} - 2 \sin (x)$

चरण 2.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} \cos (y) - 2 \sin (x)$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $e^{x} \cos (y) - 2 \sin (x)$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $e^{x} \cos (y) - 2 \sin (x)$ प्रतिस्थापित करें.

$e^{x} \cos (y) - 2 \sin (x) = e^{x} \cos (y) - 2 \sin (x)$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$e^{x} \cos (y) - 2 \sin (x) = e^{x} \cos (y) - 2 \sin (x)$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int e^{x} \cos (y) + 2 \cos (x) d y$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = e^{x} \cos (y) + 2 \cos (x)$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = \int e^{x} \cos (y) d y + \int 2 \cos (x) d y$

चरण 5.2

चूँकि $e^{x}$ बटे $y$ अचर है, $e^{x}$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = e^{x} \int \cos (y) d y + \int 2 \cos (x) d y$

चरण 5.3

$y$ के संबंध में $\cos (y)$ का इंटीग्रल $\sin (y)$ है.

$f (x, y) = e^{x} (\sin (y) + C) + \int 2 \cos (x) d y$

चरण 5.4

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = e^{x} (\sin (y) + C) + 2 \cos (x) y + C$

चरण 5.5

सरल करें.

$f (x, y) = e^{x} \sin (y) + 2 \cos (x) y + C$

चरण 6

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = e^{x} \sin (y) + 2 \cos (x) y + g (x)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x)$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [e^{x} \sin (y) + 2 \cos (x) y + g (x)] = e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x)$

चरण 8.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{x} \sin (y) + 2 \cos (x) y + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{x} \sin (y)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [e^{x} \sin (y)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x)$

चरण 8.3

$\frac{d}{d x} [e^{x} \sin (y)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

चूंकि $\sin (y)$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $e^{x} \sin (y)$ का व्युत्पन्न $\sin (y) \frac{d}{d x} [e^{x}]$ है.

$\sin (y) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x)$

चरण 8.3.2

$\sin (y) e^{x} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x)$

चरण 8.4

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x) y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1

चूंकि $2 y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 \cos (x) y$ का व्युत्पन्न $2 y \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ है.

$\sin (y) e^{x} + 2 y \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x)$

चरण 8.4.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$\sin (y) e^{x} + 2 y (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x)$

चरण 8.4.3

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\sin (y) e^{x} - 2 y \sin (x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x)$

चरण 8.5

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$\sin (y) e^{x} - 2 y \sin (x) + \frac{d g}{d x} = e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x)$

चरण 8.6

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} + e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x) = e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x)$

चरण 9

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $e^{x} \sin (y)$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} - 2 y \sin (x) = e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x) - e^{x} \sin (y)$

चरण 9.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2 y \sin (x)$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x) - e^{x} \sin (y) + 2 y \sin (x)$

चरण 9.1.3

$e^{x} \sin (y) - 2 y \sin (x) - e^{x} \sin (y) + 2 y \sin (x)$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.1

$e^{x} \sin (y)$ में से $e^{x} \sin (y)$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = - 2 y \sin (x) + 0 + 2 y \sin (x)$

चरण 9.1.3.2

$- 2 y \sin (x)$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = - 2 y \sin (x) + 2 y \sin (x)$

चरण 9.1.3.3

$- 2 y \sin (x)$ और $2 y \sin (x)$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = 0$

चरण 10

$g (x)$ को खोजने के लिए $0$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d x} = 0$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int 0 d x$

चरण 10.3

$x$ के संबंध में $0$ का इंटीग्रल $0$ है.

$g (x) = 0 + C$

चरण 10.4

$0$ और $C$ जोड़ें.

$g (x) = C$

चरण 11

$f (x, y) = e^{x} \sin (y) + 2 \cos (x) y + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = e^{x} \sin (y) + 2 \cos (x) y + C$

चरण 12

गुणनखंडों को $f (x, y) = e^{x} \sin (y) + 2 \cos (x) y + C$ में पुन: क्रमित करें.

$f (x, y) = e^{x} \sin (y) + 2 y \cos (x) + C$