कैलकुलस उदाहरण

$y \ln (y) d x + x d y = 0$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $y \ln (y) d x$ घटाएं.

$x d y = - y \ln (y) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{x y \ln (y)}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x y \ln (y)} x d y = \frac{1}{x y \ln (y)} (- y \ln (y)) d x$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$x y \ln (y)$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{x (y \ln (y))} x d y = \frac{1}{x y \ln (y)} (- y \ln (y)) d x$

चरण 3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{x (y \ln (y))} x d y = \frac{1}{x y \ln (y)} (- y \ln (y)) d x$

चरण 3.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{1}{x y \ln (y)} (- y \ln (y)) d x$

चरण 3.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = - \frac{1}{x y \ln (y)} (y \ln (y)) d x$

चरण 3.3

$y \ln (y)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$- \frac{1}{x y \ln (y)}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{- 1}{x y \ln (y)} (y \ln (y)) d x$

चरण 3.3.2

$x y \ln (y)$ में से $y \ln (y)$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{- 1}{y \ln (y) (x)} (y \ln (y)) d x$

चरण 3.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{- 1}{y \ln (y) x} (y \ln (y)) d x$

चरण 3.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{- 1}{x} d x$

चरण 3.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = - \frac{1}{x} d x$

चरण 4

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y \ln (y)} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

मान लीजिए $u = \ln (y)$ .फिर $d u = \frac{1}{y} d y$ , तो $y d u = d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

मान लें $u = \ln (y)$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1.1

$\ln (y)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

चरण 4.2.1.1.2

$y$ के संबंध में $\ln (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{y}$ है.

$\frac{1}{y}$

चरण 4.2.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2.2

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\ln (y)$ से बदलें.

$\ln (| \ln (y) |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| \ln (y) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

चरण 4.3.2

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$\ln (| \ln (y) |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

चरण 4.3.3

सरल करें.

$\ln (| \ln (y) |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

चरण 4.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| \ln (y) |) = - \ln (| x |) + C$

चरण 5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| \ln (y) |) + \ln (| x |) = C$

चरण 5.2

लघुगणक की गुणनफल गुणधर्म, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ का उपयोग करें.

$\ln (| \ln (y) | | x |) = C$

चरण 5.3

निरपेक्ष मानों को गुणा करने के लिए, प्रत्येक निरपेक्ष मान के अंदर के पदों को गुणा करें.

$\ln (| \ln (y) x |) = C$

चरण 5.4

गुणनखंडों को $\ln (| \ln (y) x |)$ में पुन: क्रमित करें.

$\ln (| x \ln (y) |) = C$

चरण 5.5

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| x \ln (y) |)} = e^{C}$

चरण 5.6

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| x \ln (y) |) = C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{C} = | x \ln (y) |$

चरण 5.7

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.1

समीकरण को $| x \ln (y) | = e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| x \ln (y) | = e^{C}$

चरण 5.7.2

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.1

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$x \ln (y) = \pm e^{C}$

चरण 5.7.2.2

$x \ln (y) = \pm e^{C}$ के प्रत्येक पद को $x$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.2.1

$x \ln (y) = \pm e^{C}$ के प्रत्येक पद को $x$ से विभाजित करें.

$\frac{x \ln (y)}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

चरण 5.7.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.2.2.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x \ln (y)}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

चरण 5.7.2.2.2.1.2

$\ln (y)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x}$

चरण 5.7.2.3

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (y)} = e^{\frac{\pm e^{C}}{x}}$

चरण 5.7.2.4

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x}$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{\frac{\pm e^{C}}{x}} = y$

चरण 5.7.2.5

समीकरण को $y = e^{\frac{\pm e^{C}}{x}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = e^{\frac{\pm e^{C}}{x}}$

चरण 6

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = e^{\frac{C}{x}}$