कैलकुलस उदाहरण

$(4 y + x^{2} y) d x + (y - 1) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = 4 y + x^{2} y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 y + x^{2} y]$

चरण 1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $4 y + x^{2} y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [4 y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $4$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $4 y$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$

चरण 1.3.3

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 + \frac{d}{d y} [x^{2} y]$

चरण 1.4

$\frac{d}{d y} [x^{2} y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

चूंकि $x^{2}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $x^{2} y$ का व्युत्पन्न $x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.4.2

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 + x^{2} \cdot 1$

चरण 1.4.3

$x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 + x^{2}$

चरण 1.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} + 4$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = y - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y - 1]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $y - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

चरण 2.5

$0$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $x^{2} + 4$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $0$ प्रतिस्थापित करें.

$x^{2} + 4 = 0$

चरण 3.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$x^{2} + 4 = 0$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$0$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

चरण 4.2

$x^{2} + 4$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{0 - (x^{2} + 4)}{M}$

चरण 4.3

$4 y + x^{2} y$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$4 y + x^{2} y$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{0 - (x^{2} + 4)}{4 y + x^{2} y}$

चरण 4.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{0 - x^{2} - 1 \cdot 4}{4 y + x^{2} y}$

चरण 4.3.2.2

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{0 - x^{2} - 4}{4 y + x^{2} y}$

चरण 4.3.2.3

$0$ में से $- (- x^{2} - 4)$ घटाएं.

$\frac{- x^{2} - 4}{4 y + x^{2} y}$

चरण 4.3.3

$4 y + x^{2} y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

$4 y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- x^{2} - 4}{y \cdot 4 + x^{2} y}$

चरण 4.3.3.2

$x^{2} y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- x^{2} - 4}{y \cdot 4 + y x^{2}}$

चरण 4.3.3.3

$y \cdot 4 + y x^{2}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- x^{2} - 4}{y (4 + x^{2})}$

चरण 4.3.4

$- x^{2} - 4$ और $4 + x^{2}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.1

$- x^{2}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (x^{2}) - 4}{y (4 + x^{2})}$

चरण 4.3.4.2

$- 4$ को $- 1 (4)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- (x^{2}) - 1 (4)}{y (4 + x^{2})}$

चरण 4.3.4.3

$- (x^{2}) - 1 (4)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (x^{2} + 4)}{y (4 + x^{2})}$

चरण 4.3.4.4

$- (x^{2} + 4)$ को $- 1 (x^{2} + 4)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (x^{2} + 4)}{y (4 + x^{2})}$

चरण 4.3.4.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{- 1 (x^{2} + 4)}{y (x^{2} + 4)}$

चरण 4.3.4.6

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 1 (x^{2} + 4)}{y (x^{2} + 4)}$

चरण 4.3.4.7

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 1}{y}$

चरण 4.3.5

$4 y + x^{2} y$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$- \frac{1}{y}$

चरण 4.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

चरण 5

इंटिग्रल $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

चरण 5.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

चरण 5.3

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

चरण 5.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$- 1$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- \ln (| y |)$ को सरल करें.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

चरण 5.4.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

चरण 5.4.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

चरण 6

$(4 y + x^{2} y) d x + (y - 1) d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$4 y + x^{2} y$ को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$(4 y + x^{2} y) \frac{1}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

चरण 6.2

$4 y + x^{2} y$ को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$\frac{4 y + x^{2} y}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

चरण 6.3

$4 y + x^{2} y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$4 y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y \cdot 4 + x^{2} y}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

चरण 6.3.2

$x^{2} y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y \cdot 4 + y x^{2}}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

चरण 6.3.3

$y \cdot 4 + y x^{2}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y (4 + x^{2})}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

चरण 6.4

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y (4 + x^{2})}{y} d x + (y - 1) d y = 0$

चरण 6.4.2

$4 + x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$(4 + x^{2}) d x + (y - 1) d y = 0$

चरण 6.5

$y - 1$ को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$(4 + x^{2}) d x + (y - 1) \frac{1}{y} d y = 0$

चरण 6.6

$y - 1$ को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$(4 + x^{2}) d x + \frac{y - 1}{y} d y = 0$

चरण 7

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int 4 + x^{2} d x$

चरण 8

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = 4 + x^{2}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = \int 4 d x + \int x^{2} d x$

चरण 8.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = 4 x + C + \int x^{2} d x$

चरण 8.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$f (x, y) = 4 x + C + \frac{1}{3} x^{3} + C$

चरण 8.4

सरल करें.

$f (x, y) = 4 x + \frac{1}{3} x^{3} + C$

चरण 9

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = 4 x + \frac{1}{3} x^{3} + g (y)$

चरण 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y - 1}{y}$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [4 x + \frac{1}{3} x^{3} + g (y)] = \frac{y - 1}{y}$

चरण 11.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $4 x + \frac{1}{3} x^{3} + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y - 1}{y}$

चरण 11.3

चूंकि $y$ के संबंध में $4 x$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y - 1}{y}$

चरण 11.4

चूंकि $y$ के संबंध में $\frac{1}{3} x^{3}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $\frac{1}{3} x^{3}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y - 1}{y}$

चरण 11.5

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$0 + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y - 1}{y}$

चरण 11.6

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.6.1

$0$ और $0$ जोड़ें.

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y - 1}{y}$

चरण 11.6.2

$0$ और $\frac{d g}{d y}$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = \frac{y - 1}{y}$

चरण 12

$g (y)$ को खोजने के लिए $\frac{y - 1}{y}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{d g}{d y} = \frac{y - 1}{y}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{y - 1}{y} d y$

चरण 12.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int \frac{y - 1}{y} d y$

चरण 12.3

भिन्न को अनेक भिन्नों में विभाजित करें.

$g (y) = \int \frac{y}{y} + \frac{- 1}{y} d y$

चरण 12.4

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$g (y) = \int \frac{y}{y} d y + \int \frac{- 1}{y} d y$

चरण 12.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.5.1

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.5.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$g (y) = \int \frac{y}{y} d y + \int \frac{- 1}{y} d y$

चरण 12.5.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$g (y) = \int d y + \int \frac{- 1}{y} d y$

चरण 12.5.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$g (y) = \int d y + \int - \frac{1}{y} d y$

चरण 12.6

स्थिरांक नियम लागू करें.

$g (y) = y + C + \int - \frac{1}{y} d y$

चरण 12.7

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = y + C - \int \frac{1}{y} d y$

चरण 12.8

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$g (y) = y + C - (\ln (| y |) + C)$

चरण 12.9

सरल करें.

$g (y) = y - \ln (| y |) + C$

चरण 13

$f (x, y) = 4 x + \frac{1}{3} x^{3} + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = 4 x + \frac{1}{3} x^{3} + y - \ln (| y |) + C$

चरण 14

$\frac{1}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = 4 x + \frac{x^{3}}{3} + y - \ln (| y |) + C$