कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2} e^{2 y + 6}}$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनखंडों को पुनर्समूहन करें

$\frac{d y}{d x} = \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{2 y + 6}}$

चरण 1.2

दोनों पक्षों को $e^{2 y + 6}$ से गुणा करें.

$e^{2 y + 6} \frac{d y}{d x} = e^{2 y + 6} (\frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{2 y + 6}})$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

जोड़ना.

$e^{2 y + 6} \frac{d y}{d x} = e^{2 y + 6} \frac{15 \cdot 1}{{(3 x + 1)}^{2} e^{2 y + 6}}$

चरण 1.3.2

$e^{2 y + 6}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

${(3 x + 1)}^{2} e^{2 y + 6}$ में से $e^{2 y + 6}$ का गुणनखंड करें.

$e^{2 y + 6} \frac{d y}{d x} = e^{2 y + 6} \frac{15 \cdot 1}{e^{2 y + 6} {(3 x + 1)}^{2}}$

चरण 1.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$e^{2 y + 6} \frac{d y}{d x} = e^{2 y + 6} \frac{15 \cdot 1}{e^{2 y + 6} {(3 x + 1)}^{2}}$

चरण 1.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{2 y + 6} \frac{d y}{d x} = \frac{15 \cdot 1}{{(3 x + 1)}^{2}}$

चरण 1.3.3

$15$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{2 y + 6} \frac{d y}{d x} = \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}}$

चरण 1.4

समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{2 y + 6} d y = \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int e^{2 y + 6} d y = \int \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

मान लीजिए $u_{1} = 2 y + 6$ .फिर $d u_{1} = 2 d y$ , तो $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

मान लें $u_{1} = 2 y + 6$ . $\frac{d u_{1}}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.1

$2 y + 6$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [2 y + 6]$

चरण 2.2.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $2 y + 6$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [6]$ है.

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [6]$

चरण 2.2.1.1.3

$\frac{d}{d y} [2 y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.3.1

चूंकि $2$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 y$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d y} [y]$ है.

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [6]$

चरण 2.2.1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [6]$

चरण 2.2.1.1.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + \frac{d}{d y} [6]$

चरण 2.2.1.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.4.1

चूंकि $y$ के संबंध में $6$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $6$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 + 0$

चरण 2.2.1.1.4.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$2$

चरण 2.2.1.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

चरण 2.2.2

$e^{u_{1}}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} = \int \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

चरण 2.2.3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

चरण 2.2.4

$u_{1}$ के संबंध में $e^{u_{1}}$ का इंटीग्रल $e^{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

चरण 2.2.5

सरल करें.

$\frac{1}{2} e^{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

चरण 2.2.6

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 y + 6$ से बदलें.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = \int \frac{15}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूँकि $15$ बटे $x$ अचर है, $15$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 15 \int \frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}} d x$

चरण 2.3.2

मान लीजिए $u_{2} = 3 x + 1$ .फिर $d u_{2} = 3 d x$ , तो $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

मान लें $u_{2} = 3 x + 1$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

$3 x + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [3 x + 1]$

चरण 2.3.2.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.3.2.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.3.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.3.2.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.3.2.1.3.3

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.3.2.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 + 0$

चरण 2.3.2.1.4.2

$3$ और $0$ जोड़ें.

$3$

चरण 2.3.2.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 15 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{2}$

चरण 2.3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$\frac{1}{{u_{2}}^{2}}$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 15 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2} \cdot 3} d u_{2}$

चरण 2.3.3.2

$3$ को ${u_{2}}^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 15 \int \frac{1}{3 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

चरण 2.3.4

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 15 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

चरण 2.3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1.1

$\frac{1}{3}$ और $15$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = \frac{15}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

चरण 2.3.5.1.2

$15$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1.2.1

$15$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = \frac{3 \cdot 5}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

चरण 2.3.5.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1.2.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = \frac{3 \cdot 5}{3 (1)} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

चरण 2.3.5.1.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

चरण 2.3.5.1.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = \frac{5}{1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

चरण 2.3.5.1.2.2.4

$5$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 5 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

चरण 2.3.5.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.2.1

${u_{2}}^{2}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 5 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

चरण 2.3.5.2.2

घातांक को ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 5 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

चरण 2.3.5.2.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 5 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

चरण 2.3.6

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में ${u_{2}}^{- 2}$ का समाकलन $- {u_{2}}^{- 1}$ है.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 5 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$

चरण 2.3.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.1

$5 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$ को $5 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = 5 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$

चरण 2.3.7.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.2.1

$- 1$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = - 5 \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

चरण 2.3.7.2.2

$- 5$ और $\frac{1}{u_{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = \frac{- 5}{u_{2}} + C_{2}$

चरण 2.3.7.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = - \frac{5}{u_{2}} + C_{2}$

चरण 2.3.8

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $3 x + 1$ से बदलें.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} + C_{1} = - \frac{5}{3 x + 1} + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{2} e^{2 y + 6} = - \frac{5}{3 x + 1} + K$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 (\frac{1}{2} e^{2 y + 6}) = 2 (- \frac{5}{3 x + 1} + K)$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} e^{2 y + 6})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ और $e^{2 y + 6}$ को मिलाएं.

$2 \frac{e^{2 y + 6}}{2} = 2 (- \frac{5}{3 x + 1} + K)$

चरण 3.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{e^{2 y + 6}}{2} = 2 (- \frac{5}{3 x + 1} + K)$

चरण 3.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{2 y + 6} = 2 (- \frac{5}{3 x + 1} + K)$

चरण 3.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$2 (- \frac{5}{3 x + 1} + K)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.1

$K$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3 x + 1}{3 x + 1}$ से गुणा करें.

$e^{2 y + 6} = 2 (- \frac{5}{3 x + 1} + \frac{K (3 x + 1)}{3 x + 1})$

चरण 3.2.2.1.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$e^{2 y + 6} = 2 \frac{- 5 + K (3 x + 1)}{3 x + 1}$

चरण 3.2.2.1.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$e^{2 y + 6} = 2 \frac{- 5 + K (3 x) + K \cdot 1}{3 x + 1}$

चरण 3.2.2.1.3.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{2 y + 6} = 2 \frac{- 5 + 3 K x + K \cdot 1}{3 x + 1}$

चरण 3.2.2.1.3.3

$K$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{2 y + 6} = 2 \frac{- 5 + 3 K x + K}{3 x + 1}$

चरण 3.2.2.1.4

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.4.1

$2$ और $\frac{- 5 + 3 K x + K}{3 x + 1}$ को मिलाएं.

$e^{2 y + 6} = \frac{2 (- 5 + 3 K x + K)}{3 x + 1}$

चरण 3.2.2.1.4.2

$- 5$ को $- 1 (5)$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{2 y + 6} = \frac{2 (- 1 (5) + 3 K x + K)}{3 x + 1}$

चरण 3.2.2.1.4.3

$3 K x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$e^{2 y + 6} = \frac{2 (- 1 (5) - (- 3 K x) + K)}{3 x + 1}$

चरण 3.2.2.1.4.4

$- 1 (5) - (- 3 K x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$e^{2 y + 6} = \frac{2 (- 1 (5 - 3 K x) + K)}{3 x + 1}$

चरण 3.2.2.1.4.5

$K$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$e^{2 y + 6} = \frac{2 (- 1 (5 - 3 K x) - 1 (- K))}{3 x + 1}$

चरण 3.2.2.1.4.6

$- 1 (5 - 3 K x) - 1 (- K)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$e^{2 y + 6} = \frac{2 (- 1 (5 - 3 K x - K))}{3 x + 1}$

चरण 3.2.2.1.4.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$e^{2 y + 6} = - \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1}$

चरण 3.3

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{2 y + 6}) = \ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})$

चरण 3.4

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$2 y + 6$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{2 y + 6})$ का प्रसार करें.

$(2 y + 6) \ln (e) = \ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})$

चरण 3.4.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$(2 y + 6) \cdot 1 = \ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})$

चरण 3.4.3

$2 y + 6$ को $1$ से गुणा करें.

$2 y + 6 = \ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})$

चरण 3.5

समीकरण के दोनों पक्षों से $6$ घटाएं.

$2 y = \ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1}) - 6$

चरण 3.6

$2 y = \ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1}) - 6$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$2 y = \ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1}) - 6$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})}{2} + \frac{- 6}{2}$

चरण 3.6.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})}{2} + \frac{- 6}{2}$

चरण 3.6.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})}{2} + \frac{- 6}{2}$

चरण 3.6.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.3.1

$- 6$ को $2$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\ln (- \frac{2 (5 - 3 K x - K)}{3 x + 1})}{2} - 3$

चरण 4

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \frac{\ln (- \frac{2 (5 + K x + K)}{3 x + 1})}{2} - 3$