कैलकुलस उदाहरण

$x \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 2 \frac{d y}{d x} = 6 x$

चरण 1

मान लें $v = \frac{d y}{d x}$ . फिर $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . आश्रित चर $v$ और स्वतंत्र चर $x$ के साथ डिफरेन्शल इक्वेश़न प्राप्त करने के लिए $\frac{d y}{d x}$ के लिए $v$ और $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ के लिए $\frac{d v}{d x}$ को प्रतिस्थापित करें.

$x \frac{d v}{d x} + 2 v = 6 x$

चरण 2

डिफरेन्शल इक्वेश़न को $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x \frac{d v}{d x} + 2 v = 6 x$ के प्रत्येक पद को $x$ से विभाजित करें.

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

चरण 2.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

चरण 2.2.2

$\frac{d v}{d x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

चरण 2.3

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

चरण 2.3.2

$6$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = 6$

चरण 2.4

$\frac{2 v}{x}$ में से $v$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d v}{d x} + v \frac{2}{x} = 6$

चरण 2.5

$v$ और $\frac{2}{x}$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{d v}{d x} + \frac{2}{x} v = 6$

चरण 3

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = \frac{2}{x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

चरण 3.2

$\frac{2}{x}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

चरण 3.2.2

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$e^{2 (\ln (| x |) + C_{1})}$

चरण 3.2.3

सरल करें.

$e^{2 \ln (| x |) + C_{1}}$

चरण 3.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{2 \ln (x)}$

चरण 3.4

लघुगणक घात नियम का प्रयोग करें.

$e^{\ln (x^{2})}$

चरण 3.5

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$x^{2}$

चरण 4

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पद को $x^{2}$ से गुणा करें.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} v) = x^{2} \cdot 6$

चरण 4.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$\frac{2}{x}$ और $v$ को मिलाएं.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x^{2} \frac{2 v}{x} = x^{2} \cdot 6$

चरण 4.2.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x \cdot x \frac{2 v}{x} = x^{2} \cdot 6$

चरण 4.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x \cdot x \frac{2 v}{x} = x^{2} \cdot 6$

चरण 4.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x (2 v) = x^{2} \cdot 6$

चरण 4.2.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + 2 x v = x^{2} \cdot 6$

चरण 4.3

$6$ को $x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + 2 x v = 6 x^{2}$

चरण 5

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} v] = 6 x^{2}$

चरण 6

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} v] d x = \int 6 x^{2} d x$

चरण 7

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$x^{2} v = \int 6 x^{2} d x$

चरण 8

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

चूँकि $6$ बटे $x$ अचर है, $6$ को समाकलन से हटा दें.

$x^{2} v = 6 \int x^{2} d x$

चरण 8.2

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$x^{2} v = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

चरण 8.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ को $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{2} v = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

चरण 8.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1

$6$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$x^{2} v = \frac{6}{3} x^{3} + C_{2}$

चरण 8.3.2.2

$6$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.2.1

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} v = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C_{2}$

चरण 8.3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.2.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} v = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C_{2}$

चरण 8.3.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{2} v = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{2}$

चरण 8.3.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{2} v = \frac{2}{1} x^{3} + C_{2}$

चरण 8.3.2.2.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} v = 2 x^{3} + C_{2}$

चरण 9

$x^{2} v = 2 x^{3} + C_{2}$ के प्रत्येक पद को $x^{2}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$x^{2} v = 2 x^{3} + C_{2}$ के प्रत्येक पद को $x^{2}$ से विभाजित करें.

$\frac{x^{2} v}{x^{2}} = \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

चरण 9.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{2} v}{x^{2}} = \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

चरण 9.2.1.2

$v$ को $1$ से विभाजित करें.

$v = \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

चरण 9.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

$x^{3}$ और $x^{2}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1.1

$2 x^{3}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$v = \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

चरण 9.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1.2.1

$1$ से गुणा करें.

$v = \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

चरण 9.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$v = \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

चरण 9.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$v = \frac{2 x}{1} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

चरण 9.3.1.2.4

$2 x$ को $1$ से विभाजित करें.

$v = 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

चरण 10

$v$ की सभी घटनाओं को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

चरण 11

समीकरण को फिर से लिखें.

$d y = (2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}}) d x$

चरण 12

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d y = \int 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

चरण 12.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{3} = \int 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

चरण 12.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$y + C_{3} = \int 2 x d x + \int \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

चरण 12.3.2

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{3} = 2 \int x d x + \int \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

चरण 12.3.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

चरण 12.3.4

चूँकि $C_{2}$ बटे $x$ अचर है, $C_{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + C_{2} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

चरण 12.3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.5.1

$x^{2}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + C_{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

चरण 12.3.5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.5.2.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

चरण 12.3.5.2.2

घातांक को ${(x^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.5.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

चरण 12.3.5.2.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} \int x^{- 2} d x$

चरण 12.3.6

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{- 2}$ का समाकलन $- x^{- 1}$ है.

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} (- x^{- 1} + C_{5})$

चरण 12.3.7

सरल करें.

$y + C_{3} = x^{2} + C_{2} (- x^{- 1}) + C_{6}$

चरण 12.3.8

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y + C_{3} = x^{2} - C_{2} x^{- 1} + C_{6}$

चरण 12.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $D$ के रूप में समूहित करें.

$y = x^{2} - C x^{- 1} + D$