कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} + x y = 2 x$

चरण 1

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int x d x}$

चरण 1.2

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

चरण 1.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{\frac{1}{2} x^{2}}$

चरण 1.4

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$

चरण 2

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पद को $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ से गुणा करें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} (2 x)$

चरण 2.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = 2 e^{\frac{x^{2}}{2}} x$

चरण 2.3

गुणनखंडों को $e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = 2 e^{\frac{x^{2}}{2}} x$ में पुन: क्रमित करें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + x y e^{\frac{x^{2}}{2}} = 2 x e^{\frac{x^{2}}{2}}$

चरण 3

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] = 2 x e^{\frac{x^{2}}{2}}$

चरण 4

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] d x = \int 2 x e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

चरण 5

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int 2 x e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

चरण 6

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 \int x e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

चरण 6.2

मान लीजिए $u_{2} = e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .फिर $d u_{2} = x e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$ , तो $\frac{1}{x e^{\frac{x^{2}}{2}}} d u_{2} = d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

मान लें $u_{2} = e^{\frac{x^{2}}{2}}$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}}]$

चरण 6.2.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = \frac{x^{2}}{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\frac{x^{2}}{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

चरण 6.2.1.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

चरण 6.2.1.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\frac{x^{2}}{2}$ से बदलें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

चरण 6.2.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.3.1

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x^{2}}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 6.2.1.3.2

$\frac{1}{2}$ और $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 6.2.1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

चरण 6.2.1.3.4

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.3.4.1

$2$ और $\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2 e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

चरण 6.2.1.3.4.2

$\frac{2 e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{2 e^{\frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

चरण 6.2.1.3.4.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.3.4.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 e^{\frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

चरण 6.2.1.3.4.3.2

$e^{\frac{x^{2}}{2}} x$ को $1$ से विभाजित करें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} x$

चरण 6.2.1.3.4.4

गुणनखंडों को $e^{\frac{x^{2}}{2}} x$ में पुन: क्रमित करें.

$x e^{\frac{x^{2}}{2}}$

चरण 6.2.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 \int d u_{2}$

चरण 6.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (u_{2} + C)$

चरण 6.4

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

सरल करें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 u_{2} + C$

चरण 6.4.2

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ से बदलें.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 e^{\frac{x^{2}}{2}} + C$

चरण 6.4.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$

चरण 7

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$ के प्रत्येक पद को $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$ के प्रत्येक पद को $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ से विभाजित करें.

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 7.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 7.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 7.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1

$e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ और $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1.1

$2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ में से $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 7.3.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1.2.1

$1$ से गुणा करें.

$y = \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 7.3.1.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 7.3.1.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}}{1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 7.3.1.1.2.4

$2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 7.3.1.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.2.1

$\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.2.1.1

$\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y = 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) - x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 7.3.1.2.1.2

$- x^{2}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y = 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 7.3.1.2.1.3

$x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y = 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 7.3.1.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 7.3.1.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = 2 e^{\frac{x^{2} (1 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 7.3.1.2.3

$1$ में से $1$ घटाएं.

$y = 2 e^{\frac{x^{2} \cdot 0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 7.3.1.3

$x^{2}$ को $0$ से गुणा करें.

$y = 2 e^{\frac{0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 7.3.1.4

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$y = 2 e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 7.3.1.5

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$y = 2 \cdot 1 + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

चरण 7.3.1.6

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$y = 2 + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$