कैलकुलस उदाहरण

$2 y d x + 3 x d y = 0$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 y d x$ घटाएं.

$3 x d y = - 2 y d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{x y}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x y} (3 x) d y = \frac{1}{x y} (- 2 y) d x$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$3 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 2 y) d x$

चरण 3.2

$3$ और $\frac{1}{x y}$ को मिलाएं.

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 2 y) d x$

चरण 3.3

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$x y$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- 2 y) d x$

चरण 3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 2 y) d x$

चरण 3.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3}{y} d y = \frac{1}{x y} (- 2 y) d x$

चरण 3.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{3}{y} d y = - 2 \frac{1}{x y} y d x$

चरण 3.5

$- 2$ और $\frac{1}{x y}$ को मिलाएं.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{x y} y d x$

चरण 3.6

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$x y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{y x} y d x$

चरण 3.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{y x} y d x$

चरण 3.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{x} d x$

चरण 3.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{3}{y} d y = - \frac{2}{x} d x$

चरण 4

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{3}{y} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

चरण 4.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

चूँकि $3$ बटे $y$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$3 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

चरण 4.2.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$3 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{2}{x} d x$

चरण 4.2.3

सरल करें.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2}{x} d x$

चरण 4.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2}{x} d x$

चरण 4.3.2

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

चरण 4.3.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{x} d x$

चरण 4.3.4

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

चरण 4.3.5

सरल करें.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| x |) + C_{2}$

चरण 4.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$3 \ln (| y |) = - 2 \ln (| x |) + C$

चरण 5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$3 \ln (| y |) + 2 \ln (| x |) = C$

चरण 5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$3 \ln (| y |) + 2 \ln (| x |)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1.1

$3$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $3 \ln (| y |)$ को सरल करें.

$\ln ({| y |}^{3}) + 2 \ln (| x |) = C$

चरण 5.2.1.1.2

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \ln (| x |)$ को सरल करें.

$\ln ({| y |}^{3}) + \ln ({| x |}^{2}) = C$

चरण 5.2.1.1.3

${| x |}^{2}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$\ln ({| y |}^{3}) + \ln (x^{2}) = C$

चरण 5.2.1.2

लघुगणक की गुणनफल गुणधर्म, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ का उपयोग करें.

$\ln ({| y |}^{3} x^{2}) = C$

चरण 5.2.1.3

गुणनखंडों को $\ln ({| y |}^{3} x^{2})$ में पुन: क्रमित करें.

$\ln (x^{2} {| y |}^{3}) = C$

चरण 5.3

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (x^{2} {| y |}^{3})} = e^{C}$

चरण 5.4

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (x^{2} {| y |}^{3}) = C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{C} = x^{2} {| y |}^{3}$

चरण 5.5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

समीकरण को $x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$

चरण 5.5.2

$x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$ के प्रत्येक पद को $x^{2}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.1

$x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$ के प्रत्येक पद को $x^{2}$ से विभाजित करें.

$\frac{x^{2} {| y |}^{3}}{x^{2}} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

चरण 5.5.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.2.1

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{2} {| y |}^{3}}{x^{2}} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

चरण 5.5.2.2.1.2

${| y |}^{3}$ को $1$ से विभाजित करें.

${| y |}^{3} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

चरण 5.5.3

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$| y | = \sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{2}}}$

चरण 5.5.4

$\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{2}}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.1

$\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{2}}}$ को $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

चरण 5.5.4.2

$\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ को $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ से गुणा करें.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

चरण 5.5.4.3

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.3.1

$\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ को $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ से गुणा करें.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

चरण 5.5.4.3.2

$\sqrt[3]{x^{2}}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

चरण 5.5.4.3.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1 + 2}}$

चरण 5.5.4.3.4

$1$ और $2$ जोड़ें.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}}$

चरण 5.5.4.3.5

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}$ को $x^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.3.5.1

$\sqrt[3]{x^{2}}$ को $x^{\frac{2}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{3}}$

चरण 5.5.4.3.5.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{3} \cdot 3}}$

चरण 5.5.4.3.5.3

$\frac{2}{3}$ और $3$ को मिलाएं.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 3}{3}}}$

चरण 5.5.4.3.5.4

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{6}{3}}}$

चरण 5.5.4.3.5.5

$6$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.3.5.5.1

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3}}}$

चरण 5.5.4.3.5.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.3.5.5.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}}$

चरण 5.5.4.3.5.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}}$

चरण 5.5.4.3.5.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{1}}}$

चरण 5.5.4.3.5.5.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2}}$

चरण 5.5.4.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.4.1

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}$ को $\sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}}{x^{2}}$

चरण 5.5.4.4.2

घातांक को ${(x^{2})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.4.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{2 \cdot 2}}}{x^{2}}$

चरण 5.5.4.4.2.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{4}}}{x^{2}}$

चरण 5.5.4.4.3

$x^{3}$ का गुणनखंड करें.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{3} x}}{x^{2}}$

चरण 5.5.4.4.4

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} x \sqrt[3]{x}}{x^{2}}$

चरण 5.5.4.4.5

रेडिकल के लिए उत्पाद नियम का उपयोग करके जोड़ें.

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x^{2}}$

चरण 5.5.4.5

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.5.1

$x$ और $x^{2}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.5.1.1

$x \sqrt[3]{e^{C} x}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x^{2}}$

चरण 5.5.4.5.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.5.1.2.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x \cdot x}$

चरण 5.5.4.5.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x \cdot x}$

चरण 5.5.4.5.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C} x}}{x}$

चरण 5.5.4.5.2

गुणनखंडों को $\frac{\sqrt[3]{e^{C} x}}{x}$ में पुन: क्रमित करें.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{x e^{C}}}{x}$

चरण 5.5.5

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x e^{C}}}{x}$

चरण 6

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x C}}{x}$