कैलकुलस उदाहरण

$\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x} = x$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x} = x$ के प्रत्येक पद को $\sqrt{1 - 4 x^{2}}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x} = x$ के प्रत्येक पद को $\sqrt{1 - 4 x^{2}}$ से विभाजित करें.

$\frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} = \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

चरण 1.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

$\sqrt{1 - 4 x^{2}}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} = \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

चरण 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

चरण 1.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1^{2} - 4 x^{2}}}$

चरण 1.1.3.1.2

$4 x^{2}$ को ${(2 x)}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}}$

चरण 1.1.3.1.3

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = 1$ और $b = 2 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - (2 x))}}$

चरण 1.1.3.1.4

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

चरण 1.1.3.2

$\frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ को $\frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ से गुणा करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

चरण 1.1.3.3

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.3.1

$\frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ को $\frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ से गुणा करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

चरण 1.1.3.3.2

$\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

चरण 1.1.3.3.3

$\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1} {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1}}$

चरण 1.1.3.3.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1 + 1}}$

चरण 1.1.3.3.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{2}}$

चरण 1.1.3.3.6

${\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{2}$ को $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.3.6.1

$\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ को ${((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{({((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 1.1.3.3.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 1.1.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{2}{2}}}$

चरण 1.1.3.3.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.3.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{2}{2}}}$

चरण 1.1.3.3.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{1}}$

चरण 1.1.3.3.6.5

सरल करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$

चरण 1.2

समीकरण को फिर से लिखें.

$d y = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d y = \int \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} d x$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{1} = \int \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

मान लीजिए $u = (1 + 2 x) (1 - 2 x)$ .फिर $d u = - 8 x d x$ , तो $- \frac{1}{8} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

मान लें $u = (1 + 2 x) (1 - 2 x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.1

$(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [(1 + 2 x) (1 - 2 x)]$

चरण 2.3.1.1.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = 1 + 2 x$ और $g (x) = 1 - 2 x$ है.

$(1 + 2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x] + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

चरण 2.3.1.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - 2 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ है.

$(1 + 2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

चरण 2.3.1.1.3.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(1 + 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

चरण 2.3.1.1.3.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ जोड़ें.

$(1 + 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x] + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

चरण 2.3.1.1.3.4

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$(1 + 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

चरण 2.3.1.1.3.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$(1 + 2 x) (- 2 \cdot 1) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

चरण 2.3.1.1.3.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.3.6.1

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$(1 + 2 x) \cdot - 2 + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

चरण 2.3.1.1.3.6.2

$- 2$ को $1 + 2 x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- 2 \cdot (1 + 2 x) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

चरण 2.3.1.1.3.7

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + 2 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ है.

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 2.3.1.1.3.8

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 2.3.1.1.3.9

$0$ और $\frac{d}{d x} [2 x]$ जोड़ें.

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 2.3.1.1.3.10

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.3.1.1.3.11

$2$ को $1 - 2 x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- 2 (1 + 2 x) + 2 \cdot (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.1.1.3.12

$- 2 (1 + 2 x) + 2 (1 - 2 x) \cdot 1$

चरण 2.3.1.1.3.13

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2 (1 + 2 x) + 2 (1 - 2 x)$

चरण 2.3.1.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- 2 \cdot 1 - 2 (2 x) + 2 (1 - 2 x)$

चरण 2.3.1.1.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- 2 \cdot 1 - 2 (2 x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 x)$

चरण 2.3.1.1.4.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.4.3.1

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2 - 2 (2 x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 x)$

चरण 2.3.1.1.4.3.2

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$- 2 - 4 x + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 x)$

चरण 2.3.1.1.4.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2 - 4 x + 2 + 2 (- 2 x)$

चरण 2.3.1.1.4.3.4

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$- 2 - 4 x + 2 - 4 x$

चरण 2.3.1.1.4.3.5

$- 2$ और $2$ जोड़ें.

$- 4 x + 0 - 4 x$

चरण 2.3.1.1.4.3.6

$- 4 x$ और $0$ जोड़ें.

$- 4 x - 4 x$

चरण 2.3.1.1.4.3.7

$- 4 x$ में से $4 x$ घटाएं.

$- 8 x$

चरण 2.3.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{- 8} d u$

चरण 2.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{u} (- \frac{1}{8}) d u$

चरण 2.3.2.2

$\frac{\sqrt{u}}{u}$ को $\frac{1}{8}$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = \int - \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 8} d u$

चरण 2.3.2.3

$8$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y + C_{1} = \int - \frac{\sqrt{u}}{8 u} d u$

चरण 2.3.3

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{8 u} d u$

चरण 2.3.4

चूँकि $\frac{1}{8}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{8}$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{8} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u)$

चरण 2.3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

चरण 2.3.5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.2.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ का उपयोग करके $u^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

चरण 2.3.5.2.2

घातांक जोड़कर $u$ को $u^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.2.2.1

$u$ को $u^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.2.2.1.1

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

चरण 2.3.5.2.2.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

चरण 2.3.5.2.2.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

चरण 2.3.5.2.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

चरण 2.3.5.2.2.4

$2$ में से $1$ घटाएं.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

चरण 2.3.5.3

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.3.1

$u^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

चरण 2.3.5.3.2

घातांक को ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.3.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

चरण 2.3.5.3.2.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

चरण 2.3.5.3.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 2.3.6

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 u^{\frac{1}{2}}$ है.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

चरण 2.3.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.1

$- \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ को $- \frac{1}{8} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

चरण 2.3.7.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.2.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{8}) u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

चरण 2.3.7.2.2

$- 2$ और $\frac{1}{8}$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \frac{- 2}{8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

चरण 2.3.7.2.3

$- 2$ और $8$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.2.3.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y + C_{1} = \frac{2 (- 1)}{8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

चरण 2.3.7.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.2.3.2.1

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

चरण 2.3.7.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

चरण 2.3.7.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = \frac{- 1}{4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

चरण 2.3.7.2.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y + C_{1} = - \frac{1}{4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

चरण 2.3.8

$u$ की सभी घटनाओं को $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ से बदलें.

$y + C_{1} = - \frac{1}{4} {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$y = - \frac{1}{4} {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}} + K$