कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = 2 + 3 y$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दोनों पक्षों को $\frac{1}{2 + 3 y}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 + 3 y} (2 + 3 y)$

चरण 1.2

$2 + 3 y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 + 3 y} (2 + 3 y)$

चरण 1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2 + 3 y} \frac{d y}{d x} = 1$

चरण 1.3

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2 + 3 y} d y = 1 d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{2 + 3 y} d y = \int d x$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

मान लीजिए $u = 2 + 3 y$ .फिर $d u = 3 d y$ , तो $\frac{1}{3} d u = d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

मान लें $u = 2 + 3 y$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.1

$2 + 3 y$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [2 + 3 y]$

चरण 2.2.1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $2 + 3 y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [3 y]$ है.

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [3 y]$

चरण 2.2.1.1.2.2

चूंकि $y$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d y} [3 y]$

चरण 2.2.1.1.3

$\frac{d}{d y} [3 y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.3.1

चूंकि $3$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $3 y$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d y} [y]$ है.

$0 + 3 \frac{d}{d y} [y]$

चरण 2.2.1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 + 3 \cdot 1$

चरण 2.2.1.1.3.3

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$0 + 3$

चरण 2.2.1.1.4

$0$ और $3$ जोड़ें.

$3$

चरण 2.2.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int d x$

चरण 2.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int d x$

चरण 2.2.2.2

$3$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{1}{3 u} d u = \int d x$

चरण 2.2.3

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

चरण 2.2.4

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

चरण 2.2.5

सरल करें.

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

चरण 2.2.6

$u$ की सभी घटनाओं को $2 + 3 y$ से बदलें.

$\frac{1}{3} \ln (| 2 + 3 y |) + C_{1} = \int d x$

चरण 2.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{3} \ln (| 2 + 3 y |) + C_{1} = x + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{3} \ln (| 2 + 3 y |) = x + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करें.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 2 + 3 y |)) = 3 (x + C)$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 2 + 3 y |))$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ और $\ln (| 2 + 3 y |)$ को मिलाएं.

$3 \frac{\ln (| 2 + 3 y |)}{3} = 3 (x + C)$

चरण 3.2.1.1.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$3 \frac{\ln (| 2 + 3 y |)}{3} = 3 (x + C)$

चरण 3.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| 2 + 3 y |) = 3 (x + C)$

चरण 3.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\ln (| 2 + 3 y |) = 3 x + 3 C$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| 2 + 3 y |)} = e^{3 x + 3 C}$

चरण 3.4

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| 2 + 3 y |) = 3 x + 3 C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{3 x + 3 C} = | 2 + 3 y |$

चरण 3.5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

समीकरण को $| 2 + 3 y | = e^{3 x + 3 C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| 2 + 3 y | = e^{3 x + 3 C}$

चरण 3.5.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$2 + 3 y = \pm e^{3 x + 3 C}$

चरण 3.5.3

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$3 y = \pm e^{3 x + 3 C} - 2$

चरण 3.5.4

$3 y = \pm e^{3 x + 3 C} - 2$ के प्रत्येक पद को $3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.1

$3 y = \pm e^{3 x + 3 C} - 2$ के प्रत्येक पद को $3$ से विभाजित करें.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\pm e^{3 x + 3 C}}{3} + \frac{- 2}{3}$

चरण 3.5.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\pm e^{3 x + 3 C}}{3} + \frac{- 2}{3}$

चरण 3.5.4.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\pm e^{3 x + 3 C}}{3} + \frac{- 2}{3}$

चरण 3.5.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = \frac{\pm e^{3 x + 3 C}}{3} - \frac{2}{3}$

चरण 3.5.4.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{\pm e^{3 x + 3 C} - 2}{3}$

चरण 4

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \frac{\pm e^{3 x + C} - 2}{3}$

चरण 4.2

$e^{3 x + C}$ को $e^{3 x} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{\pm e^{3 x} e^{C} - 2}{3}$

चरण 4.3

$e^{3 x}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \frac{\pm e^{C} e^{3 x} - 2}{3}$

चरण 4.4

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = \frac{C e^{3 x} - 2}{3}$