कैलकुलस उदाहरण

$y^{2} d x + (3 x y - 1) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = y^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = 3 x y - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y - 1]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x y - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [3 x y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $3 y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x y$ का व्युत्पन्न $3 y \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.3.3

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y + 0$

चरण 2.4.2

$3 y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $2 y$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $3 y$ प्रतिस्थापित करें.

$2 y = 3 y$

चरण 3.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$2 y = 3 y$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$3 y$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{3 y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

चरण 4.2

$2 y$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{3 y - (2 y)}{M}$

चरण 4.3

$y^{2}$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$y^{2}$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{3 y - (2 y)}{y^{2}}$

चरण 4.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

$3 y - 1 \cdot 2 y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.1

$3 y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y \cdot 3 - 1 \cdot 2 y}{y^{2}}$

चरण 4.3.2.1.2

$- 1 \cdot 2 y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y \cdot 3 + y (- 1 \cdot 2)}{y^{2}}$

चरण 4.3.2.1.3

$y \cdot 3 + y (- 1 \cdot 2)$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y (3 - 1 \cdot 2)}{y^{2}}$

चरण 4.3.2.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{y (3 - 2)}{y^{2}}$

चरण 4.3.2.3

$3$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{y \cdot 1}{y^{2}}$

चरण 4.3.3

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{y}{y^{2}}$

चरण 4.3.4

$y^{2}$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.1

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{y^{1}}{y^{2}}$

चरण 4.3.4.2

$y^{1}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y \cdot 1}{y^{2}}$

चरण 4.3.4.3

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.3.1

$y^{2}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y \cdot 1}{y \cdot y}$

चरण 4.3.4.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y \cdot 1}{y \cdot y}$

चरण 4.3.4.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y}$

चरण 4.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

चरण 5

इंटिग्रल $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

चरण 5.2

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

चरण 5.2.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$μ (x, y) = | y | + C$

चरण 6

$y^{2} d x + (3 x y - 1) d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$y^{2}$ को $y$ से गुणा करें.

$y^{2} y d x + (3 x y - 1) d y = 0$

चरण 6.2

घातांक जोड़कर $y^{2}$ को $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$y^{2}$ को $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y^{2} y^{1} d x + (3 x y - 1) d y = 0$

चरण 6.2.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y^{2 + 1} d x + (3 x y - 1) d y = 0$

चरण 6.2.2

$2$ और $1$ जोड़ें.

$y^{3} d x + (3 x y - 1) d y = 0$

चरण 6.3

$3 x y - 1$ को $y$ से गुणा करें.

$y^{3} d x + (3 x y - 1) y d y = 0$

चरण 6.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y^{3} d x + (3 x y \cdot y - 1 y) d y = 0$

चरण 6.5

घातांक जोड़कर $y$ को $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1

$y$ ले जाएं.

$y^{3} d x + (3 x (y \cdot y) - 1 y) d y = 0$

चरण 6.5.2

$y$ को $y$ से गुणा करें.

$y^{3} d x + (3 x y^{2} - 1 y) d y = 0$

चरण 6.6

$- 1 y$ को $- y$ के रूप में फिर से लिखें.

$y^{3} d x + (3 x y^{2} - y) d y = 0$

चरण 7

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int y^{3} d x$

चरण 8

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = y^{3}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = y^{3} x + C$

चरण 9

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = y^{3} x + g (y)$

चरण 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x y^{2} - y$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [y^{3} x + g (y)] = 3 x y^{2} - y$

चरण 11.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{3} x + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - y$

चरण 11.3

$\frac{d}{d y} [y^{3} x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $y^{3} x$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ है.

$x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - y$

चरण 11.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - y$

चरण 11.3.3

$3$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$3 x y^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - y$

चरण 11.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$3 x y^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - y$

चरण 11.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x = 3 x y^{2} - y$

चरण 12

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $3 y^{2} x$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - y - 3 y^{2} x$

चरण 12.1.2

$3 x y^{2} - y - 3 y^{2} x$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.2.1

गुणनखंडों को $3 x y^{2}$ और $- 3 y^{2} x$ पदों में पुन: व्यवस्थित करें.

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} x - y - 3 y^{2} x$

चरण 12.1.2.2

$3 y^{2} x$ में से $3 y^{2} x$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = - y + 0$

चरण 12.1.2.3

$- y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = - y$

चरण 13

$g (y)$ को खोजने के लिए $- y$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{d g}{d y} = - y$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y d y$

चरण 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int - y d y$

चरण 13.3

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = - \int y d y$

चरण 13.4

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$g (y) = - (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

चरण 13.5

$- (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ को $- \frac{1}{2} y^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$g (y) = - \frac{1}{2} y^{2} + C$

चरण 14

$f (x, y) = y^{3} x + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = y^{3} x - \frac{1}{2} y^{2} + C$

चरण 15

$y^{2}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = y^{3} x - \frac{y^{2}}{2} + C$