कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} - 2 x y = 3 x$

चरण 1

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = - 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int - 2 x d x}$

चरण 1.2

$- 2 x$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूँकि $- 2$ बटे $x$ अचर है, $- 2$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{- 2 \int x d x}$

चरण 1.2.2

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$e^{- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

चरण 1.2.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ को $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

चरण 1.2.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1

$- 2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$e^{\frac{- 2}{2} x^{2} + C}$

चरण 1.2.3.2.2

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.2.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C}$

चरण 1.2.3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C}$

चरण 1.2.3.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

चरण 1.2.3.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{\frac{- 1}{1} x^{2} + C}$

चरण 1.2.3.2.2.2.4

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$e^{- x^{2} + C}$

चरण 1.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{- x^{2}}$

चरण 2

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $e^{- x^{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पद को $e^{- x^{2}}$ से गुणा करें.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- x^{2}} (- 2 x y) = e^{- x^{2}} (3 x)$

चरण 2.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = e^{- x^{2}} (3 x)$

चरण 2.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 3 e^{- x^{2}} x$

चरण 2.4

गुणनखंडों को $e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 3 e^{- x^{2}} x$ में पुन: क्रमित करें.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 x y e^{- x^{2}} = 3 x e^{- x^{2}}$

चरण 3

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] = 3 x e^{- x^{2}}$

चरण 4

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] d x = \int 3 x e^{- x^{2}} d x$

चरण 5

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$e^{- x^{2}} y = \int 3 x e^{- x^{2}} d x$

चरण 6

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

चूँकि $3$ बटे $x$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{- x^{2}} y = 3 \int x e^{- x^{2}} d x$

चरण 6.2

मान लीजिए $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .फिर $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , तो $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

मान लें $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$e^{- x^{2}}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

चरण 6.2.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $- x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 6.2.1.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 6.2.1.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $- x^{2}$ से बदलें.

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 6.2.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 6.2.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

चरण 6.2.1.3.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

चरण 6.2.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.4.1

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$- 2 e^{- x^{2}} x$

चरण 6.2.1.4.2

गुणनखंडों को $- 2 e^{- x^{2}} x$ में पुन: क्रमित करें.

$- 2 x e^{- x^{2}}$

चरण 6.2.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$e^{- x^{2}} y = 3 \int \frac{1}{- 2} d u_{2}$

चरण 6.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$e^{- x^{2}} y = 3 \int - \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 6.4

स्थिरांक नियम लागू करें.

$e^{- x^{2}} y = 3 (- \frac{1}{2} u_{2} + C)$

चरण 6.5

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1

सरल करें.

$e^{- x^{2}} y = 3 (- \frac{1}{2} u_{2}) + C$

चरण 6.5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.2.1

$u_{2}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$e^{- x^{2}} y = 3 (- \frac{u_{2}}{2}) + C$

चरण 6.5.2.2

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$e^{- x^{2}} y = - 3 \frac{u_{2}}{2} + C$

चरण 6.5.2.3

$- 3$ और $\frac{u_{2}}{2}$ को मिलाएं.

$e^{- x^{2}} y = \frac{- 3 u_{2}}{2} + C$

चरण 6.5.2.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$e^{- x^{2}} y = - \frac{3 u_{2}}{2} + C$

चरण 6.5.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $e^{- x^{2}}$ से बदलें.

$e^{- x^{2}} y = - \frac{3 e^{- x^{2}}}{2} + C$

चरण 6.5.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$e^{- x^{2}} y = - \frac{3}{2} e^{- x^{2}} + C$

चरण 7

$e^{- x^{2}} y = - \frac{3}{2} e^{- x^{2}} + C$ के प्रत्येक पद को $e^{- x^{2}}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$e^{- x^{2}} y = - \frac{3}{2} e^{- x^{2}} + C$ के प्रत्येक पद को $e^{- x^{2}}$ से विभाजित करें.

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{- \frac{3}{2} e^{- x^{2}}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

चरण 7.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$e^{- x^{2}}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{- \frac{3}{2} e^{- x^{2}}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

चरण 7.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{- \frac{3}{2} e^{- x^{2}}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

चरण 7.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$e^{- x^{2}}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{- \frac{3}{2} e^{- x^{2}}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

चरण 7.3.1.2

$- \frac{3}{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = - \frac{3}{2} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$