कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} + y = x y^{2}$

चरण 1

डिफरेन्शल इक्वेश़न को हल करने के लिए, मान लें कि $v = y^{1 - n}$ जहां $n$ , $y^{2}$ का घातांक है.

$v = y^{- 1}$

चरण 2

$y$ के लिए समीकरण को हल करें.

$y = v^{- 1}$

चरण 3

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न लें.

$y' = v^{- 1}$

चरण 4

$x$ के संबंध में $v^{- 1}$ का व्युत्पन्न लें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$v^{- 1}$ का व्युत्पन्न लें.

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

चरण 4.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

चरण 4.3

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 1$ और $g (x) = v$ है.

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

चरण 4.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

चरण 4.4.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

चरण 4.4.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.3.1

$v$ को $0$ से गुणा करें.

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

चरण 4.4.3.2

$0$ में से $\frac{d}{d x} [v]$ घटाएं.

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

चरण 4.4.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

चरण 4.5

$\frac{d}{d x} [v]$ को $v'$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

चरण 5

मूल समीकरण $\frac{d y}{d x} + y = x y^{2}$ में $- \frac{v'}{v^{2}}$ को $\frac{d y}{d x}$ से और $v^{- 1}$ को $y$ से प्रतिस्थापित करें.

$- \frac{v'}{v^{2}} + v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$

चरण 6

प्रतिस्थापित डिफरेन्शल इक्वेश़न को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

भिन्नों को हटाने के लिए $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$ के प्रत्येक पद को $- v^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$ के प्रत्येक पद को $- v^{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 6.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.1.1

$v^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 6.1.2.1.1.2

$- v^{2}$ में से $v^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 6.1.2.1.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 6.1.2.1.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 6.1.2.1.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 \frac{d v}{d x} + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 6.1.2.1.3

$\frac{d v}{d x}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{d v}{d x} + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 6.1.2.1.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{d v}{d x} - v^{- 1} v^{2} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 6.1.2.1.5

घातांक जोड़कर $v^{- 1}$ को $v^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.1.5.1

$v^{2}$ ले जाएं.

$\frac{d v}{d x} - (v^{2} v^{- 1}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 6.1.2.1.5.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{d v}{d x} - v^{2 - 1} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 6.1.2.1.5.3

$2$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{d v}{d x} - v^{1} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 6.1.2.1.6

$- v^{1}$ को सरल करें.

$\frac{d v}{d x} - v = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

चरण 6.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.3.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{d v}{d x} - v = - x {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

चरण 6.1.3.2

घातांक को ${(v^{- 1})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.3.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

चरण 6.1.3.2.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{d v}{d x} - v = - x v^{- 2} v^{2}$

चरण 6.1.3.3

घातांक जोड़कर $v^{- 2}$ को $v^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.3.3.1

$v^{2}$ ले जाएं.

$\frac{d v}{d x} - v = - x (v^{2} v^{- 2})$

चरण 6.1.3.3.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{d v}{d x} - v = - x v^{2 - 2}$

चरण 6.1.3.3.3

$2$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{d v}{d x} - v = - x v^{0}$

चरण 6.1.3.4

$- x v^{0}$ को सरल करें.

$\frac{d v}{d x} - v = - x$

चरण 6.2

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int - 1 d x}$

चरण 6.2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$e^{- x + C}$

चरण 6.2.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{- x}$

चरण 6.3

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $e^{- x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

प्रत्येक पद को $e^{- x}$ से गुणा करें.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} + e^{- x} (- v) = e^{- x} (- x)$

चरण 6.3.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = e^{- x} (- x)$

चरण 6.3.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - e^{- x} x$

चरण 6.3.4

गुणनखंडों को $e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - e^{- x} x$ में पुन: क्रमित करें.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - v e^{- x} = - x e^{- x}$

चरण 6.4

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} v] = - x e^{- x}$

चरण 6.5

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} v] d x = \int - x e^{- x} d x$

चरण 6.6

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$e^{- x} v = \int - x e^{- x} d x$

चरण 6.7

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{- x} v = - \int x e^{- x} d x$

चरण 6.7.2

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = e^{- x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

चरण 6.7.3

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

चरण 6.7.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

चरण 6.7.4.2

$\int e^{- x} d x$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

चरण 6.7.5

मान लीजिए $u = - x$ .फिर $d u = - d x$ , तो $- d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.5.1

मान लें $u = - x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.5.1.1

$- x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [- x]$

चरण 6.7.5.1.2

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- \frac{d}{d x} [x]$

चरण 6.7.5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 1 \cdot 1$

चरण 6.7.5.1.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1$

चरण 6.7.5.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

चरण 6.7.6

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

चरण 6.7.7

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$

चरण 6.7.8

$- (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$ को $- (- x e^{- x} - e^{u}) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{- x} v = - (- x e^{- x} - e^{u}) + C$

चरण 6.7.9

$u$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$e^{- x} v = - (- x e^{- x} - e^{- x}) + C$

चरण 6.7.10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.10.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$e^{- x} v = - (- x e^{- x}) - - e^{- x} + C$

चरण 6.7.10.2

$- (- x e^{- x})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.10.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{- x} v = 1 (x e^{- x}) - - e^{- x} + C$

चरण 6.7.10.2.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{- x} v = x e^{- x} - - e^{- x} + C$

चरण 6.7.10.3

$- - e^{- x}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.10.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{- x} v = x e^{- x} + 1 e^{- x} + C$

चरण 6.7.10.3.2

$e^{- x}$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{- x} v = x e^{- x} + e^{- x} + C$

चरण 6.8

$e^{- x} v = x e^{- x} + e^{- x} + C$ के प्रत्येक पद को $e^{- x}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.1

$e^{- x} v = x e^{- x} + e^{- x} + C$ के प्रत्येक पद को $e^{- x}$ से विभाजित करें.

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

चरण 6.8.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.2.1

$e^{- x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

चरण 6.8.2.1.2

$v$ को $1$ से विभाजित करें.

$v = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

चरण 6.8.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.3.1.1

$e^{- x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.3.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$v = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

चरण 6.8.3.1.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$v = x + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

चरण 6.8.3.1.2

$e^{- x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.8.3.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$v = x + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

चरण 6.8.3.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$v = x + 1 + \frac{C}{e^{- x}}$

चरण 7

$y^{- 1}$ को $v$ से प्रतिस्थापित करें.

$y^{- 1} = x + 1 + \frac{C}{e^{- x}}$