कैलकुलस उदाहरण

$d x + (\frac{x}{y} - \sin (y)) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

चरण 1.2

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = \frac{x}{y} - \sin (y)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x}{y} - \sin (y)]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\frac{x}{y} - \sin (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $\frac{1}{y}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x}{y}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$

चरण 2.3.3

$\frac{1}{y}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$

चरण 2.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- \sin (y)$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \sin (y)$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} + 0$

चरण 2.4.2

$\frac{1}{y}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y}$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $0$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $\frac{1}{y}$ प्रतिस्थापित करें.

$0 = \frac{1}{y}$

चरण 3.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$0 = \frac{1}{y}$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{1}{y}$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{\frac{1}{y} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

चरण 4.2

$0$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{\frac{1}{y} + 0}{M}$

चरण 4.3

$1$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$1$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{\frac{1}{y} + 0}{1}$

चरण 4.3.2

$\frac{1}{y} + 0$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{y} + 0$

चरण 4.3.3

$1$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{1}{y}$

चरण 4.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

चरण 5

इंटिग्रल $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

चरण 5.2

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

चरण 5.2.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$μ (x, y) = | y | + C$

चरण 6

$1$ को $y$ से गुणा करें.

$d x + (\frac{x}{y} - \sin (y)) d y = 0$

चरण 7

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int y d x$

चरण 8

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = y$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = y x + C$

चरण 9

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = y x + g (y)$

चरण 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = x - y \sin (y)$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [y x + g (y)] = x - y \sin (y)$

चरण 11.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y x + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x - y \sin (y)$

चरण 11.3

$\frac{d}{d y} [y x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $y x$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [y]$ है.

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x - y \sin (y)$

चरण 11.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x - y \sin (y)$

चरण 11.3.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x - y \sin (y)$

चरण 11.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$x + \frac{d g}{d y} = x - y \sin (y)$

चरण 11.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} + x = x - y \sin (y)$

चरण 12

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = x - y \sin (y) - x$

चरण 12.1.2

$x - y \sin (y) - x$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.2.1

$x$ में से $x$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = - y \sin (y) + 0$

चरण 12.1.2.2

$- y \sin (y)$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = - y \sin (y)$

चरण 13

$g (y)$ को खोजने के लिए $- y \sin (y)$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{d g}{d y} = - y \sin (y)$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y \sin (y) d y$

चरण 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int - y \sin (y) d y$

चरण 13.3

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = - \int y \sin (y) d y$

चरण 13.4

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = y$ और $d v = \sin (y)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$g (y) = - (y (- \cos (y)) - \int - \cos (y) d y)$

चरण 13.5

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = - (y (- \cos (y)) - - \int \cos (y) d y)$

चरण 13.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.6.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$g (y) = - (y (- \cos (y)) + 1 \int \cos (y) d y)$

चरण 13.6.2

$\int \cos (y) d y$ को $1$ से गुणा करें.

$g (y) = - (y (- \cos (y)) + \int \cos (y) d y)$

चरण 13.7

$y$ के संबंध में $\cos (y)$ का इंटीग्रल $\sin (y)$ है.

$g (y) = - (y (- \cos (y)) + \sin (y) + C)$

चरण 13.8

$- (y (- \cos (y)) + \sin (y) + C)$ को $- (- y \cos (y) + \sin (y)) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$g (y) = - (- y \cos (y) + \sin (y)) + C$

चरण 14

$f (x, y) = y x + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = y x - (- y \cos (y) + \sin (y)) + C$

चरण 15

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x, y) = y x - (- y \cos (y)) - \sin (y) + C$

चरण 15.2

$- (- y \cos (y))$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (x, y) = y x + 1 (y \cos (y)) - \sin (y) + C$

चरण 15.2.2

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$f (x, y) = y x + y \cos (y) - \sin (y) + C$