कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d u}{d t} = \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2 u}$ , $u (0) = - 4$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दोनों पक्षों को $u$ से गुणा करें.

$u \frac{d u}{d t} = u \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2 u}$

चरण 1.2

$u$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$2 u$ में से $u$ का गुणनखंड करें.

$u \frac{d u}{d t} = u \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{u \cdot 2}$

चरण 1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u \frac{d u}{d t} = u \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{u \cdot 2}$

चरण 1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u \frac{d u}{d t} = \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2}$

चरण 1.3

समीकरण को फिर से लिखें.

$u d u = \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2} d t$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int u d u = \int \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2} d t$

चरण 2.2

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u$ का समाकलन $\frac{1}{2} u^{2}$ है.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \int \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2} d t$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $t$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int 2 t + \sec^{2} (t) d t$

चरण 2.3.2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\int 2 t d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

चरण 2.3.3

चूँकि $2$ बटे $t$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 \int t d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

चरण 2.3.4

घात नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t$ का समाकलन $\frac{1}{2} t^{2}$ है.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \sec^{2} (t) d t)$

चरण 2.3.5

चूंकि $\tan (t)$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (t)$ है, $\sec^{2} (t)$ का समाकलन $\tan (t)$ है.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \tan (t) + C_{3})$

चरण 2.3.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.1

$\frac{1}{2}$ और $t^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + \tan (t) + C_{3})$

चरण 2.3.6.2

सरल करें.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + C_{4}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{2} u^{2} = \frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K$

चरण 3

$u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 (\frac{1}{2} u^{2}) = 2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} u^{2})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ और $u^{2}$ को मिलाएं.

$2 \frac{u^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$

चरण 3.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{u^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$

चरण 3.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u^{2} = 2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$

चरण 3.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$u^{2} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + \frac{1}{2} \tan (t) + K)$

चरण 3.2.2.1.1.2

$\frac{1}{2}$ और $t^{2}$ को मिलाएं.

$u^{2} = 2 (\frac{t^{2}}{2} + \frac{1}{2} \tan (t) + K)$

चरण 3.2.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ और $\tan (t)$ को मिलाएं.

$u^{2} = 2 (\frac{t^{2}}{2} + \frac{\tan (t)}{2} + K)$

चरण 3.2.2.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$u^{2} = 2 \frac{t^{2}}{2} + 2 \frac{\tan (t)}{2} + 2 K$

चरण 3.2.2.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.3.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u^{2} = 2 \frac{t^{2}}{2} + 2 \frac{\tan (t)}{2} + 2 K$

चरण 3.2.2.1.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u^{2} = t^{2} + 2 \frac{\tan (t)}{2} + 2 K$

चरण 3.2.2.1.3.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u^{2} = t^{2} + 2 \frac{\tan (t)}{2} + 2 K$

चरण 3.2.2.1.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u^{2} = t^{2} + \tan (t) + 2 K$

चरण 3.3

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$u = \pm \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

चरण 3.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

चरण 3.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

चरण 3.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

चरण 4

समाकलन की संतति को सरल करें.

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + K}$

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + K}$

चरण 5

चूँकि $u$ प्रारंभिक स्थिति $(0, - 4)$ में ऋणात्मक है, $K$ ज्ञात करने के लिए केवल $u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + K}$ पर विचार करें. $t$ के लिए $0$ और $u$ के लिए $- 4$ प्रतिस्थापित करें.

$- 4 = - \sqrt{0^{2} + \tan (0) + K}$

चरण 6

$K$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

समीकरण को $- \sqrt{0^{2} + \tan (0) + K} = - 4$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \sqrt{0^{2} + \tan (0) + K} = - 4$

चरण 6.2

समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें.

${(- \sqrt{0^{2} + \tan (0) + K})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

चरण 6.3

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$\sqrt{0^{2} + \tan (0) + K}$ को ${(0^{2} + \tan (0) + K)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${(- {(0^{2} + \tan (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

चरण 6.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1

${(- {(0^{2} + \tan (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

${(- {(0 + \tan (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

चरण 6.3.2.1.1.2

$\tan (0)$ का सटीक मान $0$ है.

${(- {(0 + 0 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

चरण 6.3.2.1.2

पदों को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1.2.1

$0 + 0 + K$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1.2.1.1

$0$ और $0$ जोड़ें.

${(- {(0 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

चरण 6.3.2.1.2.1.2

$0$ और $K$ जोड़ें.

${(- K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

चरण 6.3.2.1.2.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1.2.2.1

उत्पाद नियम को $- K^{\frac{1}{2}}$ पर लागू करें.

${(- 1)}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

चरण 6.3.2.1.2.2.2

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

चरण 6.3.2.1.2.2.3

${(K^{\frac{1}{2}})}^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

${(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

चरण 6.3.2.1.2.2.4

घातांक को ${(K^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1.2.2.4.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4)}^{2}$

चरण 6.3.2.1.2.2.4.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1.2.2.4.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4)}^{2}$

चरण 6.3.2.1.2.2.4.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$K^{1} = {(- 4)}^{2}$

चरण 6.3.2.1.3

सरल करें.

$K = {(- 4)}^{2}$

चरण 6.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.1

$- 4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$K = 16$

चरण 7

$16$ को $u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + K}$ में $K$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$16$ को $K$ से प्रतिस्थापित करें.

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 16}$