कैलकुलस उदाहरण

$(x + 2 y) d x + (2 x - 3 y) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = x + 2 y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + 2 y]$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $x + 2 y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y]$

चरण 1.2.2

चूंकि $y$ के संबंध में $x$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 y]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [2 y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $2$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 y$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \cdot 1$

चरण 1.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2$

चरण 1.4

$0$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = 2 x - 3 y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x - 3 y]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x - 3 y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

चरण 2.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

चरण 2.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 3 y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0$

चरण 2.4.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $2$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $2$ प्रतिस्थापित करें.

$2 = 2$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$2 = 2$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int x + 2 y d x$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = x + 2 y$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = \int x d x + \int 2 y d x$

चरण 5.2

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int 2 y d x$

चरण 5.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C + 2 y x + C$

चरण 5.4

सरल करें.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 y x + C$

चरण 6

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 y x + g (y)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x - 3 y$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2} + 2 y x + g (y)] = 2 x - 3 y$

चरण 8.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $\frac{1}{2} x^{2} + 2 y x + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x - 3 y$

चरण 8.2.2

चूंकि $y$ के संबंध में $\frac{1}{2} x^{2}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $\frac{1}{2} x^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d y} [2 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x - 3 y$

चरण 8.3

$\frac{d}{d y} [2 y x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

चूंकि $2 x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 y x$ का व्युत्पन्न $2 x \frac{d}{d y} [y]$ है.

$0 + 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x - 3 y$

चरण 8.3.2

$0 + 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x - 3 y$

चरण 8.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$0 + 2 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x - 3 y$

चरण 8.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$0 + 2 x + \frac{d g}{d y} = 2 x - 3 y$

चरण 8.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.1

$0$ और $2 x$ जोड़ें.

$2 x + \frac{d g}{d y} = 2 x - 3 y$

चरण 8.5.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} + 2 x = 2 x - 3 y$

चरण 9

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 x$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = 2 x - 3 y - 2 x$

चरण 9.1.2

$2 x - 3 y - 2 x$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.1

$2 x$ में से $2 x$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = - 3 y + 0$

चरण 9.1.2.2

$- 3 y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = - 3 y$

चरण 10

$g (y)$ को खोजने के लिए $- 3 y$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d y} = - 3 y$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 3 y d y$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int - 3 y d y$

चरण 10.3

चूँकि $- 3$ बटे $y$ अचर है, $- 3$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = - 3 \int y d y$

चरण 10.4

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$g (y) = - 3 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

चरण 10.5

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.1

$- 3 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ को $- 3 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$g (y) = - 3 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

चरण 10.5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.2.1

$- 3$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$g (y) = \frac{- 3}{2} y^{2} + C$

चरण 10.5.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$g (y) = - \frac{3}{2} y^{2} + C$

चरण 11

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 y x + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 y x - \frac{3}{2} y^{2} + C$

चरण 12

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + 2 y x - \frac{3}{2} y^{2} + C$

चरण 12.2

$y^{2}$ और $\frac{3}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + 2 y x - \frac{y^{2} \cdot 3}{2} + C$

चरण 12.3

$3$ को $y^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + 2 y x - \frac{3 y^{2}}{2} + C$