कैलकुलस उदाहरण

$(y^{2} + x y^{3}) d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = y^{2} + x y^{3}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} + x y^{3}]$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{2} + x y^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x y^{3}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x y^{3}]$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [x y^{3}]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [x y^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $x y^{3}$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + x \frac{d}{d y} [y^{3}]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + x (3 y^{2})$

चरण 1.3.3

$3$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 3 x y^{2}$

चरण 1.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} x + 2 y$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = 5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)]$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

चरण 2.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $5 y^{2}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 y^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [- x y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $- y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x y$ का व्युत्पन्न $- y \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

चरण 2.3.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y + \frac{d}{d x} [y^{3} \sin (y)]$

चरण 2.4

चूंकि $x$ के संबंध में $y^{3} \sin (y)$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $y^{3} \sin (y)$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y + 0$

चरण 2.5

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$0$ में से $y$ घटाएं.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y + 0$

चरण 2.5.2

$- y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $3 y^{2} x + 2 y$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $- y$ प्रतिस्थापित करें.

$3 y^{2} x + 2 y = - y$

चरण 3.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$3 y^{2} x + 2 y = - y$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$- y$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{- y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

चरण 4.2

$3 y^{2} x + 2 y$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{- y - (3 y^{2} x + 2 y)}{M}$

चरण 4.3

$y^{2} + x y^{3}$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$y^{2} + x y^{3}$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{- y - (3 y^{2} x + 2 y)}{y^{2} + x y^{3}}$

चरण 4.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- y - (3 y^{2} x) - (2 y)}{y^{2} + x y^{3}}$

चरण 4.3.2.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- y - 3 (y^{2} x) - (2 y)}{y^{2} + x y^{3}}$

चरण 4.3.2.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- y - 3 (y^{2} x) - 2 y}{y^{2} + x y^{3}}$

चरण 4.3.2.4

$- y$ में से $2 y$ घटाएं.

$\frac{- 3 y^{2} x - 3 y}{y^{2} + x y^{3}}$

चरण 4.3.2.5

$- 3 y^{2} x - 3 y$ में से $3 y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.5.1

$- 3 y^{2} x$ में से $3 y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 y (- y x) - 3 y}{y^{2} + x y^{3}}$

चरण 4.3.2.5.2

$- 3 y$ में से $3 y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 y (- y x) + 3 y (- 1)}{y^{2} + x y^{3}}$

चरण 4.3.2.5.3

$3 y (- y x) + 3 y (- 1)$ में से $3 y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 y (- y x - 1)}{y^{2} + x y^{3}}$

चरण 4.3.3

$y^{2} + x y^{3}$ में से $y^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

$1$ से गुणा करें.

$\frac{3 y (- y x - 1)}{y^{2} \cdot 1 + x y^{3}}$

चरण 4.3.3.2

$x y^{3}$ में से $y^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 y (- y x - 1)}{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x y)}$

चरण 4.3.3.3

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x y)$ में से $y^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 y (- y x - 1)}{y^{2} (1 + x y)}$

चरण 4.3.4

$y$ और $y^{2}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.1

$3 y (- y x - 1)$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y (3 (- y x - 1))}{y^{2} (1 + x y)}$

चरण 4.3.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.2.1

$y^{2} (1 + x y)$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y (3 (- y x - 1))}{y (y (1 + x y))}$

चरण 4.3.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y (3 (- y x - 1))}{y (y (1 + x y))}$

चरण 4.3.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3 (- y x - 1)}{y (1 + x y)}$

चरण 4.3.5

पदों को व्यवस्थित करें.

$\frac{3 (- x y - 1)}{y (x y + 1)}$

चरण 4.3.6

$- x y - 1$ और $x y + 1$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.6.1

$- x y$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (- (x y) - 1)}{y (x y + 1)}$

चरण 4.3.6.2

$- 1$ को $- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{3 (- (x y) - 1 (1))}{y (x y + 1)}$

चरण 4.3.6.3

$- (x y) - 1 (1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (- (x y + 1))}{y (x y + 1)}$

चरण 4.3.6.4

$- (x y + 1)$ को $- 1 (x y + 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{3 (- 1 (x y + 1))}{y (x y + 1)}$

चरण 4.3.6.5

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 (- 1 (x y + 1))}{y (x y + 1)}$

चरण 4.3.6.6

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{y}$

चरण 4.3.7

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- 3}{y}$

चरण 4.3.8

$y^{2} + x y^{3}$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$- \frac{3}{y}$

चरण 4.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

चरण 5

इंटिग्रल $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

चरण 5.2

चूँकि $3$ बटे $y$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

चरण 5.3

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

चरण 5.4

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

चरण 5.5

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

चरण 5.6

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

$- 3$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- 3 \ln (| y |)$ को सरल करें.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

चरण 5.6.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

चरण 5.6.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

चरण 6

$(y^{2} + x y^{3}) d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $\frac{1}{y^{3}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$y^{2} + x y^{3}$ को $\frac{1}{y^{3}}$ से गुणा करें.

$(y^{2} + x y^{3}) \frac{1}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

चरण 6.2

$y^{2} + x y^{3}$ को $\frac{1}{y^{3}}$ से गुणा करें.

$\frac{y^{2} + x y^{3}}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

चरण 6.3

$y^{2} + x y^{3}$ में से $y^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$1$ से गुणा करें.

$\frac{y^{2} \cdot 1 + x y^{3}}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

चरण 6.3.2

$x y^{3}$ में से $y^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x y)}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

चरण 6.3.3

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x y)$ में से $y^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y^{2} (1 + x y)}{y^{3}} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

चरण 6.4

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

$y^{3}$ में से $y^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y^{2} (1 + x y)}{y^{2} y} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

चरण 6.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y^{2} (1 + x y)}{y^{2} y} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

चरण 6.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) d y = 0$

चरण 6.5

$5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)$ को $\frac{1}{y^{3}}$ से गुणा करें.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (5 y^{2} - x y + y^{3} \sin (y)) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

चरण 6.6

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (5 y^{2} \frac{1}{y^{3}} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

चरण 6.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.1

$y^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.1.1

$5 y^{2}$ में से $y^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (y^{2} \cdot 5 \frac{1}{y^{3}} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

चरण 6.7.1.2

$y^{3}$ में से $y^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (y^{2} \cdot 5 \frac{1}{y^{2} y} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

चरण 6.7.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (y^{2} \cdot 5 \frac{1}{y^{2} y} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

चरण 6.7.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (5 \frac{1}{y} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

चरण 6.7.2

$5$ और $\frac{1}{y}$ को मिलाएं.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - x y \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

चरण 6.7.3

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.3.1

$- x y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} + y (- x) \frac{1}{y^{3}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

चरण 6.7.3.2

$y^{3}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} + y (- x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

चरण 6.7.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} + y (- x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

चरण 6.7.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - x \frac{1}{y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

चरण 6.7.4

$\frac{1}{y^{2}}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

चरण 6.7.5

$y^{3}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.5.1

$y^{3} \sin (y)$ में से $y^{3}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + y^{3} (\sin (y)) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

चरण 6.7.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + y^{3} \sin (y) \frac{1}{y^{3}}) d y = 0$

चरण 6.7.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1 + x y}{y} d x + (\frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)) d y = 0$

चरण 7

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int \frac{1 + x y}{y} d x$

चरण 8

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = \frac{1 + x y}{y}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

भिन्न को अनेक भिन्नों में विभाजित करें.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} + \frac{x y}{y} d x$

चरण 8.2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int \frac{x y}{y} d x$

चरण 8.3

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int \frac{x y}{y} d x$

चरण 8.3.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int x d x$

चरण 8.4

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = \frac{1}{y} x + C + \int x d x$

चरण 8.5

$\frac{1}{y}$ और $x$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C + \int x d x$

चरण 8.6

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C + \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 8.7

सरल करें.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 9

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

चरण 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

चरण 11.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $\frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

चरण 11.3

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $\frac{x}{y}$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ है.

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

चरण 11.3.2

$\frac{1}{y}$ को $y^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

चरण 11.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$x (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

चरण 11.4

चूंकि $y$ के संबंध में $\frac{1}{2} x^{2}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $\frac{1}{2} x^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$x (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

चरण 11.5

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$x (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

चरण 11.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.6.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$x (- \frac{1}{y^{2}}) + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

चरण 11.6.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.6.2.1

$x$ और $\frac{1}{y^{2}}$ को मिलाएं.

$- \frac{x}{y^{2}} + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

चरण 11.6.2.2

$- \frac{x}{y^{2}}$ और $0$ जोड़ें.

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

चरण 11.6.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} = \frac{5}{y} - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

चरण 12

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

चर वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं ओर ले जाएँ.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{5}{y}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{5}{y} = - \frac{x}{y^{2}} + \sin (y)$

चरण 12.1.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $\frac{x}{y^{2}}$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{5}{y} + \frac{x}{y^{2}} = \sin (y)$

चरण 12.1.1.3

समीकरण के दोनों पक्षों से $\sin (y)$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{5}{y} + \frac{x}{y^{2}} - \sin (y) = 0$

चरण 12.1.1.4

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{5}{y} + \frac{x}{y^{2}} - \sin (y)$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1.4.1

$- \frac{x}{y^{2}}$ और $\frac{x}{y^{2}}$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} - \frac{5}{y} + 0 - \sin (y) = 0$

चरण 12.1.1.4.2

$\frac{d g}{d y} - \frac{5}{y}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} - \frac{5}{y} - \sin (y) = 0$

चरण 12.1.2

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $\frac{5}{y}$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} - \sin (y) = \frac{5}{y}$

चरण 12.1.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $\sin (y)$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} + \sin (y)$

चरण 13

$g (y)$ को खोजने के लिए $\frac{5}{y} + \sin (y)$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{d g}{d y} = \frac{5}{y} + \sin (y)$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{5}{y} + \sin (y) d y$

चरण 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int \frac{5}{y} + \sin (y) d y$

चरण 13.3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$g (y) = \int \frac{5}{y} d y + \int \sin (y) d y$

चरण 13.4

चूँकि $5$ बटे $y$ अचर है, $5$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = 5 \int \frac{1}{y} d y + \int \sin (y) d y$

चरण 13.5

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$g (y) = 5 (\ln (| y |) + C) + \int \sin (y) d y$

चरण 13.6

$y$ के संबंध में $\sin (y)$ का इंटीग्रल $- \cos (y)$ है.

$g (y) = 5 (\ln (| y |) + C) - \cos (y) + C$

चरण 13.7

सरल करें.

$g (y) = 5 \ln (| y |) - \cos (y) + C$

चरण 14

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + 5 \ln (| y |) - \cos (y) + C$

चरण 15

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{x^{2}}{2} + 5 \ln (| y |) - \cos (y) + C$

चरण 15.2

$5$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $5 \ln (| y |)$ को सरल करें.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{x^{2}}{2} + \ln ({| y |}^{5}) - \cos (y) + C$