कैलकुलस उदाहरण

$(1 + y e^{x y}) d x + (2 y + x e^{x y}) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = 1 + y e^{x y}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + y e^{x y}]$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $1 + y e^{x y}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y e^{x y}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y e^{x y}]$

चरण 1.2.2

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y e^{x y}]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [y e^{x y}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ है, जहाँ $f (y) = y$ और $g (y) = e^{x y}$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y \frac{d}{d y} [e^{x y}] + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = e^{y}$ और $g (y) = x y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{u} \frac{d}{d y} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x y$ से बदलें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} \frac{d}{d y} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3.3

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $x y$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y])) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} (x \cdot 1)) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3.5

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} (x \cdot 1)) + e^{x y} \cdot 1$

चरण 1.3.6

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} x) + e^{x y} \cdot 1$

चरण 1.3.7

$e^{x y}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} x) + e^{x y}$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$0$ और $y (e^{x y} x) + e^{x y}$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} x) + e^{x y}$

चरण 1.4.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x y} x y + e^{x y}$

चरण 1.4.3

गुणनखंडों को $e^{x y} x y + e^{x y}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x y e^{x y} + e^{x y}$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = 2 y + x e^{x y}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y + x e^{x y}]$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 y + x e^{x y}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [x e^{x y}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [x e^{x y}]$

चरण 2.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $2 y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [x e^{x y}]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [x e^{x y}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = e^{x y}$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x \frac{d}{d x} [e^{x y}] + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = x y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.2.2

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{u} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x y$ से बदलें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.3

चूंकि $y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $x y$ का व्युत्पन्न $y \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} (y \frac{d}{d x} [x])) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} (y \cdot 1)) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.5

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} (y \cdot 1)) + e^{x y} \cdot 1$

चरण 2.3.6

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} y) + e^{x y} \cdot 1$

चरण 2.3.7

$e^{x y}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} y) + e^{x y}$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$0$ और $x (e^{x y} y) + e^{x y}$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} y) + e^{x y}$

चरण 2.4.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x y} x y + e^{x y}$

चरण 2.4.3

गुणनखंडों को $e^{x y} x y + e^{x y}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x y e^{x y} + e^{x y}$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $x y e^{x y} + e^{x y}$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $x y e^{x y} + e^{x y}$ प्रतिस्थापित करें.

$x y e^{x y} + e^{x y} = x y e^{x y} + e^{x y}$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$x y e^{x y} + e^{x y} = x y e^{x y} + e^{x y}$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int 1 + y e^{x y} d x$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = 1 + y e^{x y}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = \int d x + \int y e^{x y} d x$

चरण 5.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = x + C + \int y e^{x y} d x$

चरण 5.3

चूँकि $y$ बटे $x$ अचर है, $y$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = x + C + y \int e^{x y} d x$

चरण 5.4

मान लीजिए $u = x y$ .फिर $d u = y d x$ , तो $\frac{1}{y} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

मान लें $u = x y$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.1

$x y$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x y]$

चरण 5.4.1.2

चूंकि $y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $x y$ का व्युत्पन्न $y \frac{d}{d x} [x]$ है.

$y \frac{d}{d x} [x]$

चरण 5.4.1.3

$y \cdot 1$

चरण 5.4.1.4

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$y$

चरण 5.4.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$f (x, y) = x + C + y \int e^{u} \frac{1}{y} d u$

चरण 5.5

$e^{u}$ और $\frac{1}{y}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = x + C + y \int \frac{e^{u}}{y} d u$

चरण 5.6

चूँकि $\frac{1}{y}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{y}$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = x + C + y (\frac{1}{y} \int e^{u} d u)$

चरण 5.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.1

$\frac{1}{y}$ और $y$ को मिलाएं.

$f (x, y) = x + C + \frac{y}{y} \int e^{u} d u$

चरण 5.7.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (x, y) = x + C + \frac{y}{y} \int e^{u} d u$

चरण 5.7.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (x, y) = x + C + 1 \int e^{u} d u$

चरण 5.7.3

$\int e^{u} d u$ को $1$ से गुणा करें.

$f (x, y) = x + C + \int e^{u} d u$

चरण 5.8

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$f (x, y) = x + C + e^{u} + C$

चरण 5.9

सरल करें.

$f (x, y) = x + e^{u} + C$

चरण 5.10

$u$ की सभी घटनाओं को $x y$ से बदलें.

$f (x, y) = x + e^{x y} + C$

चरण 6

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = x + e^{x y} + g (y)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 y + x e^{x y}$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [x + e^{x y} + g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

चरण 8.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $x + e^{x y} + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [e^{x y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [e^{x y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

चरण 8.2.2

चूंकि $y$ के संबंध में $x$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d y} [e^{x y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

चरण 8.3

$\frac{d}{d y} [e^{x y}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x y$ के रूप में सेट करें.

$0 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

चरण 8.3.1.2

$0 + e^{u} \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

चरण 8.3.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x y$ से बदलें.

$0 + e^{x y} \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

चरण 8.3.2

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $x y$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [y]$ है.

$0 + e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

चरण 8.3.3

$0 + e^{x y} (x \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

चरण 8.3.4

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$0 + e^{x y} x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

चरण 8.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$0 + e^{x y} x + \frac{d g}{d y} = 2 y + x e^{x y}$

चरण 8.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.1

$0$ और $e^{x y} x$ जोड़ें.

$e^{x y} x + \frac{d g}{d y} = 2 y + x e^{x y}$

चरण 8.5.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} + e^{x y} x = 2 y + x e^{x y}$

चरण 8.5.3

गुणनखंडों को $\frac{d g}{d y} + e^{x y} x$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{d g}{d y} + x e^{x y} = 2 y + x e^{x y}$

चरण 9

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x e^{x y}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = 2 y + x e^{x y} - x e^{x y}$

चरण 9.1.2

$2 y + x e^{x y} - x e^{x y}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.1

$x e^{x y}$ में से $x e^{x y}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = 2 y + 0$

चरण 9.1.2.2

$2 y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = 2 y$

चरण 10

$g (y)$ को खोजने के लिए $2 y$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d y} = 2 y$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y d y$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int 2 y d y$

चरण 10.3

चूँकि $2$ बटे $y$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = 2 \int y d y$

चरण 10.4

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

चरण 10.5

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ को $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

चरण 10.5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.2.1

$2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

चरण 10.5.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

चरण 10.5.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$g (y) = 1 y^{2} + C$

चरण 10.5.2.3

$y^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$g (y) = y^{2} + C$

चरण 11

$f (x, y) = x + e^{x y} + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = x + e^{x y} + y^{2} + C$