कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनखंडों को पुनर्समूहन करें

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} y^{2}$

चरण 1.2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{y^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} y^{2})$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$y^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1

$\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} y^{2}$ में से $y^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

चरण 1.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

चरण 1.3.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

चरण 1.3.2

$\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ को $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

चरण 1.3.3

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

$\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ को $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

चरण 1.3.3.2

$\sqrt{1 + x^{2}}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}}$

चरण 1.3.3.3

$\sqrt{1 + x^{2}}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}}$

चरण 1.3.3.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

चरण 1.3.3.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}$

चरण 1.3.3.6

${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ को $1 + x^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.6.1

$\sqrt{1 + x^{2}}$ को ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 1.3.3.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 1.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

चरण 1.3.3.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

चरण 1.3.3.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}}$

चरण 1.3.3.6.5

सरल करें.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

चरण 1.4

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

$y^{2}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

चरण 2.2.1.2

घातांक को ${(y^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

चरण 2.2.1.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

चरण 2.2.2

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{- 2}$ का समाकलन $- y^{- 1}$ है.

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

चरण 2.2.3

$- y^{- 1} + C_{1}$ को $- \frac{1}{y} + C_{1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

मान लीजिए $u = 1 + x^{2}$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

मान लें $u = 1 + x^{2}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.1

$1 + x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

चरण 2.3.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.3.1.1.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.3.1.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 + 2 x$

चरण 2.3.1.1.5

$0$ और $2 x$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 2.3.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$\frac{\sqrt{u}}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 2} d u$

चरण 2.3.2.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

चरण 2.3.3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

चरण 2.3.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.1

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

चरण 2.3.4.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.2.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ का उपयोग करके $u^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

चरण 2.3.4.2.2

घातांक जोड़कर $u$ को $u^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.2.2.1

$u$ को $u^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.2.2.1.1

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

चरण 2.3.4.2.2.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

चरण 2.3.4.2.2.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

चरण 2.3.4.2.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

चरण 2.3.4.2.2.4

$2$ में से $1$ घटाएं.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

चरण 2.3.4.3

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.3.1

$u^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

चरण 2.3.4.3.2

घातांक को ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.3.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

चरण 2.3.4.3.2.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

चरण 2.3.4.3.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 2.3.5

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 u^{\frac{1}{2}}$ है.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

चरण 2.3.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.1

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ को $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

चरण 2.3.6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.2.1

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

चरण 2.3.6.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

चरण 2.3.6.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

चरण 2.3.6.2.3

$u^{\frac{1}{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

चरण 2.3.7

$u$ की सभी घटनाओं को $1 + x^{2}$ से बदलें.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$- \frac{1}{y} = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के पदों का LCD पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

मान की एक सूची के LCD को पता करना उन मान के भाजक के LCM को पता करने के समान है.

$y, 1, 1$

चरण 3.1.2

एक और किसी भी व्यंजक का LCM (लघुत्तम समापवर्तक) व्यंजक है.

$y$

चरण 3.2

भिन्नों को हटाने के लिए $- \frac{1}{y} = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$ के प्रत्येक पद को $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$- \frac{1}{y} = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$ के प्रत्येक पद को $y$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{y} y = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} y + K y$

चरण 3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.1

$- \frac{1}{y}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{- 1}{y} y = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} y + K y$

चरण 3.2.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 1}{y} y = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} y + K y$

चरण 3.2.2.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 1 = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} y + K y$

चरण 3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1

गुणनखंडों को ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} y + K y$ में पुन: क्रमित करें.

$- 1 = y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K y$

चरण 3.3

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

समीकरण को $y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K y = - 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K y = - 1$

चरण 3.3.2

$y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + K y = - 1$

चरण 3.3.2.2

$K y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + y K = - 1$

चरण 3.3.2.3

$y ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + y K$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K) = - 1$

चरण 3.3.3

$y ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K) = - 1$ के प्रत्येक पद को ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

$y ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K) = - 1$ के प्रत्येक पद को ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$ से विभाजित करें.

$\frac{y ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K)}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K} = \frac{- 1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K}$

चरण 3.3.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.2.1

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{- 1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K}$

चरण 3.3.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = - \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K}$