कैलकुलस उदाहरण

$(x^{2} + y^{2} + x) d x + y d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2} + x]$

चरण 1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $x^{2} + y^{2} + x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$

चरण 1.3

चूंकि $y$ के संबंध में $x^{2}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $x^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$

चरण 1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [x]$

चरण 1.5

चूंकि $y$ के संबंध में $x$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 0$

चरण 1.6

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1

$0$ और $2 y$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

चरण 1.6.2

$2 y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y]$

चरण 2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $2 y$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $0$ प्रतिस्थापित करें.

$2 y = 0$

चरण 3.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$2 y = 0$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$2 y$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

चरण 4.2

$0$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{2 y + 0}{N}$

चरण 4.3

$y$ को $N$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$y$ को $N$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{2 y + 0}{y}$

चरण 4.3.2

$2 y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{2 y}{y}$

चरण 4.3.3

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 y}{y}$

चरण 4.3.3.2

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$2$

चरण 4.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int 2 d x}$

चरण 5

इंटिग्रल $e^{\int 2 d x}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

स्थिरांक नियम लागू करें.

$μ (x, y) = e^{2 x + C}$

चरण 5.2

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{2 x} + C$

चरण 6

$(x^{2} + y^{2} + x) d x + y d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $e^{2 x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$x^{2} + y^{2} + x$ को $e^{2 x}$ से गुणा करें.

$(x^{2} + y^{2} + x) e^{2 x} d x + y d y = 0$

चरण 6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}) d x + y d y = 0$

चरण 6.3

$y$ को $e^{2 x}$ से गुणा करें.

$(x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}) d x + y e^{2 x} d y = 0$

चरण 7

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int y e^{2 x} d y$

चरण 8

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = y e^{2 x}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

चूँकि $e^{2 x}$ बटे $y$ अचर है, $e^{2 x}$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = e^{2 x} \int y d y$

चरण 8.2

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$f (x, y) = e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

चरण 8.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ को $e^{2 x} \frac{1}{2} y^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (x, y) = e^{2 x} \frac{1}{2} y^{2} + C$

चरण 8.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1

$e^{2 x}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x}}{2} y^{2} + C$

चरण 8.3.2.2

$\frac{e^{2 x}}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + C$

चरण 8.3.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + C$

चरण 9

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$

चरण 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

चरण 11.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

चरण 11.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

$\frac{1}{2}$ और $e^{2 x}$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

चरण 11.3.2

$\frac{e^{2 x}}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

चरण 11.3.3

चूंकि $\frac{y^{2}}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ है.

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

चरण 11.3.4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

चरण 11.3.4.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{y^{2}}{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

चरण 11.3.4.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

चरण 11.3.5

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

चरण 11.3.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

चरण 11.3.7

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

चरण 11.3.8

$2$ को $e^{2 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{y^{2}}{2} (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

चरण 11.3.9

$2$ और $\frac{y^{2}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2 y^{2}}{2} e^{2 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

चरण 11.3.10

$\frac{2 y^{2}}{2}$ और $e^{2 x}$ को मिलाएं.

$\frac{2 y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

चरण 11.3.11

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.11.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

चरण 11.3.11.2

$y^{2} e^{2 x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y^{2} e^{2 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

चरण 11.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$y^{2} e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

चरण 11.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.5.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} + e^{2 x} y^{2} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

चरण 11.5.2

गुणनखंडों को $\frac{d g}{d x} + e^{2 x} y^{2}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{2 x} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

चरण 12

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{d g}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $y^{2} e^{2 x}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} - y^{2} e^{2 x}$

चरण 12.1.2

$x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} - y^{2} e^{2 x}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.2.1

$y^{2} e^{2 x}$ में से $y^{2} e^{2 x}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} + 0$

चरण 12.1.2.2

$x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

चरण 13

$g (x)$ को खोजने के लिए $x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} d x$

चरण 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} d x$

चरण 13.3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$g (x) = \int x^{2} e^{2 x} d x + \int x e^{2 x} d x$

चरण 13.4

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x^{2}$ और $d v = e^{2 x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$g (x) = x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int x e^{2 x} d x$

चरण 13.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.5.1

$\frac{1}{2}$ और $e^{2 x}$ को मिलाएं.

$g (x) = x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int x e^{2 x} d x$

चरण 13.5.2

$x^{2}$ और $\frac{e^{2 x}}{2}$ को मिलाएं.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int x e^{2 x} d x$

चरण 13.6

चूँकि $\frac{1}{2} \cdot 2$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2} \cdot 2$ को समाकलन से हटा दें.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 x} (x) d x) + \int x e^{2 x} d x$

चरण 13.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.7.1

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x) + \int x e^{2 x} d x$

चरण 13.7.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.7.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x) + \int x e^{2 x} d x$

चरण 13.7.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (1 \int e^{2 x} (x) d x) + \int x e^{2 x} d x$

चरण 13.7.3

$\int e^{2 x} (x) d x$ को $1$ से गुणा करें.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} (x) d x + \int x e^{2 x} d x$

चरण 13.8

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = e^{2 x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int x e^{2 x} d x$

चरण 13.9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.9.1

$\frac{1}{2}$ और $e^{2 x}$ को मिलाएं.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int x e^{2 x} d x$

चरण 13.9.2

$x$ और $\frac{e^{2 x}}{2}$ को मिलाएं.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int x e^{2 x} d x$

चरण 13.9.3

$\frac{1}{2}$ और $e^{2 x}$ को मिलाएं.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x) + \int x e^{2 x} d x$

चरण 13.10

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)) + \int x e^{2 x} d x$

चरण 13.11

कोष्ठक हटा दें.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2 x} d x) + \int x e^{2 x} d x$

चरण 13.12

मान लीजिए $u_{1} = 2 x$ .फिर $d u_{1} = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.12.1

मान लें $u_{1} = 2 x$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.12.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 13.12.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 13.12.1.3

$2 \cdot 1$

चरण 13.12.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 13.12.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}) + \int x e^{2 x} d x$

चरण 13.13

$e^{u_{1}}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}) + \int x e^{2 x} d x$

चरण 13.14

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int x e^{2 x} d x$

चरण 13.15

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.15.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int x e^{2 x} d x$

चरण 13.15.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int x e^{2 x} d x$

चरण 13.16

$u_{1}$ के संबंध में $e^{u_{1}}$ का इंटीग्रल $e^{u_{1}}$ है.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \int x e^{2 x} d x$

चरण 13.17

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = e^{2 x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

चरण 13.18

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.18.1

$\frac{1}{2}$ और $e^{2 x}$ को मिलाएं.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

चरण 13.18.2

$x$ और $\frac{e^{2 x}}{2}$ को मिलाएं.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

चरण 13.19

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)$

चरण 13.20

कोष्ठक हटा दें.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2 x} d x$

चरण 13.21

मान लीजिए $u_{2} = 2 x$ .फिर $d u_{2} = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.21.1

मान लें $u_{2} = 2 x$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.21.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 13.21.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 13.21.1.3

$2 \cdot 1$

चरण 13.21.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 13.21.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 13.22

$e^{u_{2}}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

चरण 13.23

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

चरण 13.24

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.24.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

चरण 13.24.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

चरण 13.25

$u_{2}$ के संबंध में $e^{u_{2}}$ का इंटीग्रल $e^{u_{2}}$ है.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

चरण 13.26

सरल करें.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

चरण 13.27

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.27.1

$- \frac{x e^{2 x}}{2}$ और $\frac{x e^{2 x}}{2}$ जोड़ें.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + 0 + \frac{e^{u_{1}}}{4} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

चरण 13.27.2

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2}$ और $0$ जोड़ें.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

चरण 13.27.3

$- \frac{1}{4} e^{u_{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} \cdot \frac{4}{4} + C$

चरण 13.27.4

$- \frac{1}{4} e^{u_{2}}$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + \frac{- \frac{1}{4} e^{u_{2}} \cdot 4}{4} + C$

चरण 13.27.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} \cdot 4}{4} + C$

चरण 13.27.6

$e^{u_{2}}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} - \frac{e^{u_{2}}}{4} \cdot 4}{4} + C$

चरण 13.27.7

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} - 4 \frac{e^{u_{2}}}{4}}{4} + C$

चरण 13.27.8

$- 4$ और $\frac{e^{u_{2}}}{4}$ को मिलाएं.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{- 4 e^{u_{2}}}{4}}{4} + C$

चरण 13.27.9

$- 4$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.27.9.1

$- 4 e^{u_{2}}$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{4 (- e^{u_{2}})}{4}}{4} + C$

चरण 13.27.9.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.27.9.2.1

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{4 (- e^{u_{2}})}{4 (1)}}{4} + C$

चरण 13.27.9.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{4 (- e^{u_{2}})}{4 \cdot 1}}{4} + C$

चरण 13.27.9.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{- e^{u_{2}}}{1}}{4} + C$

चरण 13.27.9.2.4

$- e^{u_{2}}$ को $1$ से विभाजित करें.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} - e^{u_{2}}}{4} + C$

चरण 13.27.10

$e^{u_{1}}$ में से $e^{u_{2}}$ घटाएं.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{0}{4} + C$

चरण 13.27.11

$0$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.27.11.1

$0$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{4 (0)}{4} + C$

चरण 13.27.11.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.27.11.2.1

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + C$

चरण 13.27.11.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + C$

चरण 13.27.11.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{0}{1} + C$

चरण 13.27.11.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + 0 + C$

चरण 13.27.12

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2}$ और $0$ जोड़ें.

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + C$

चरण 13.28

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$

चरण 14

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$

चरण 15

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1.1

$\frac{1}{2}$ और $e^{2 x}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x}}{2} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$

चरण 15.1.2

$\frac{e^{2 x}}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$

चरण 15.1.3

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} e^{2 x} + C$

चरण 15.1.4

$\frac{x^{2}}{2}$ और $e^{2 x}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + C$

चरण 15.2

गुणनखंडों को $f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + C$ में पुन: क्रमित करें.

$f (x, y) = \frac{y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + C$