कैलकुलस उदाहरण

$7 y \frac{d y}{d x} = 4 x^{2}$

चरण 1

समीकरण को फिर से लिखें.

$7 y d y = 4 x^{2} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int 7 y d y = \int 4 x^{2} d x$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूँकि $7$ बटे $y$ अचर है, $7$ को समाकलन से हटा दें.

$7 \int y d y = \int 4 x^{2} d x$

चरण 2.2.2

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$7 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 4 x^{2} d x$

चरण 2.2.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

$7 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ को $7 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$7 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 4 x^{2} d x$

चरण 2.2.3.2

$7$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = \int 4 x^{2} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूँकि $4$ बटे $x$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = 4 \int x^{2} d x$

चरण 2.3.2

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

चरण 2.3.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ को $4 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = 4 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

चरण 2.3.3.2

$4$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{7}{2} y^{2} = \frac{4}{3} x^{3} + K$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $\frac{2}{7}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{7} (\frac{7}{2} y^{2}) = \frac{2}{7} (\frac{4}{3} x^{3} + K)$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$\frac{2}{7} (\frac{7}{2} y^{2})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.1

$\frac{7}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{7} \cdot \frac{7 y^{2}}{2} = \frac{2}{7} (\frac{4}{3} x^{3} + K)$

चरण 3.2.1.1.2

जोड़ना.

$\frac{2 (7 y^{2})}{7 \cdot 2} = \frac{2}{7} (\frac{4}{3} x^{3} + K)$

चरण 3.2.1.1.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (7 y^{2})}{7 \cdot 2} = \frac{2}{7} (\frac{4}{3} x^{3} + K)$

चरण 3.2.1.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{7 y^{2}}{7} = \frac{2}{7} (\frac{4}{3} x^{3} + K)$

चरण 3.2.1.1.4

$7$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{7 y^{2}}{7} = \frac{2}{7} (\frac{4}{3} x^{3} + K)$

चरण 3.2.1.1.4.2

$y^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y^{2} = \frac{2}{7} (\frac{4}{3} x^{3} + K)$

चरण 3.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$\frac{2}{7} (\frac{4}{3} x^{3} + K)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.1

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.1.1

$\frac{4}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$y^{2} = \frac{2}{7} (\frac{4 x^{3}}{3} + K)$

चरण 3.2.2.1.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y^{2} = \frac{2}{7} \cdot \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{2}{7} K$

चरण 3.2.2.1.1.3

जोड़ना.

$y^{2} = \frac{2 (4 x^{3})}{7 \cdot 3} + \frac{2}{7} K$

चरण 3.2.2.1.1.4

$\frac{2}{7}$ और $K$ को मिलाएं.

$y^{2} = \frac{2 (4 x^{3})}{7 \cdot 3} + \frac{2 K}{7}$

चरण 3.2.2.1.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.2.1

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$y^{2} = \frac{8 x^{3}}{7 \cdot 3} + \frac{2 K}{7}$

चरण 3.2.2.1.2.2

$7$ को $3$ से गुणा करें.

$y^{2} = \frac{8 x^{3}}{21} + \frac{2 K}{7}$

चरण 3.3

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$y = \pm \sqrt{\frac{8 x^{3}}{21} + \frac{2 K}{7}}$

चरण 3.4

$\pm \sqrt{\frac{8 x^{3}}{21} + \frac{2 K}{7}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$\frac{2 K}{7}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$y = \pm \sqrt{\frac{8 x^{3}}{21} + \frac{2 K}{7} \cdot \frac{3}{3}}$

चरण 3.4.2

प्रत्येक व्यंजक को $21$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

$\frac{2 K}{7}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$y = \pm \sqrt{\frac{8 x^{3}}{21} + \frac{2 K \cdot 3}{7 \cdot 3}}$

चरण 3.4.2.2

$7$ को $3$ से गुणा करें.

$y = \pm \sqrt{\frac{8 x^{3}}{21} + \frac{2 K \cdot 3}{21}}$

चरण 3.4.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \pm \sqrt{\frac{8 x^{3} + 2 K \cdot 3}{21}}$

चरण 3.4.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.1

$8 x^{3} + 2 K \cdot 3$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.1.1

$8 x^{3}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (4 x^{3}) + 2 K \cdot 3}{21}}$

चरण 3.4.4.1.2

$2 K \cdot 3$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (4 x^{3}) + 2 (K \cdot 3)}{21}}$

चरण 3.4.4.1.3

$2 (4 x^{3}) + 2 (K \cdot 3)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (4 x^{3} + K \cdot 3)}{21}}$

चरण 3.4.4.2

$3$ को $K$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (4 x^{3} + 3 K)}{21}}$

चरण 3.4.5

$\sqrt{\frac{2 (4 x^{3} + 3 K)}{21}}$ को $\frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{21}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{21}}$

चरण 3.4.6

$\frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{21}}$ को $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ से गुणा करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{21}} \cdot \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$

चरण 3.4.7

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.7.1

$\frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{21}}$ को $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ से गुणा करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

चरण 3.4.7.2

$\sqrt{21}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1} \sqrt{21}}$

चरण 3.4.7.3

$\sqrt{21}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1} {\sqrt{21}}^{1}}$

चरण 3.4.7.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1 + 1}}$

चरण 3.4.7.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{2}}$

चरण 3.4.7.6

${\sqrt{21}}^{2}$ को $21$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.7.6.1

$\sqrt{21}$ को $21^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 3.4.7.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 3.4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

चरण 3.4.7.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.7.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

चरण 3.4.7.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{21^{1}}$

चरण 3.4.7.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 K)} \sqrt{21}}{21}$

चरण 3.4.8

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.8.1

रेडिकल के लिए उत्पाद नियम का उपयोग करके जोड़ें.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (4 x^{3} + 3 K) \cdot 21}}{21}$

चरण 3.4.8.2

$21$ को $2$ से गुणा करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{42 (4 x^{3} + 3 K)}}{21}$

चरण 3.5

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$y = \frac{\sqrt{42 (4 x^{3} + 3 K)}}{21}$

चरण 3.5.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$y = - \frac{\sqrt{42 (4 x^{3} + 3 K)}}{21}$

चरण 3.5.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$y = \frac{\sqrt{42 (4 x^{3} + 3 K)}}{21}$

$y = - \frac{\sqrt{42 (4 x^{3} + 3 K)}}{21}$

$y = \frac{\sqrt{42 (4 x^{3} + 3 K)}}{21}$

$y = - \frac{\sqrt{42 (4 x^{3} + 3 K)}}{21}$

$y = \frac{\sqrt{42 (4 x^{3} + 3 K)}}{21}$

$y = - \frac{\sqrt{42 (4 x^{3} + 3 K)}}{21}$

चरण 4

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \frac{\sqrt{42 (4 x^{3} + K)}}{21}$

$y = - \frac{\sqrt{42 (4 x^{3} + K)}}{21}$