कैलकुलस उदाहरण

$(1 + e^{x} y + x e^{x} y) d x + (x e^{x} + 2) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + e^{x} y + x e^{x} y]$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $1 + e^{x} y + x e^{x} y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

चरण 1.2.2

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [e^{x} y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $e^{x}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $e^{x} y$ का व्युत्पन्न $e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

चरण 1.3.3

$e^{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

चरण 1.4

$\frac{d}{d y} [x e^{x} y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

चूंकि $x e^{x}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $x e^{x} y$ का व्युत्पन्न $x e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} + x e^{x} \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.4.2

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} + x e^{x} \cdot 1$

चरण 1.4.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} + x e^{x}$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$0$ और $e^{x}$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} + x e^{x}$

चरण 1.5.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} x + e^{x}$

चरण 1.5.3

गुणनखंडों को $e^{x} x + e^{x}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x e^{x} + e^{x}$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = x e^{x} + 2$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{x} + 2]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x e^{x} + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = e^{x}$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 2.3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 2.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 2.3.4

$e^{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 2.4

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x} + 0$

चरण 2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$x e^{x} + e^{x}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x}$

चरण 2.5.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} x + e^{x}$

चरण 2.5.3

गुणनखंडों को $e^{x} x + e^{x}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x}$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $x e^{x} + e^{x}$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $x e^{x} + e^{x}$ प्रतिस्थापित करें.

$x e^{x} + e^{x} = x e^{x} + e^{x}$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$x e^{x} + e^{x} = x e^{x} + e^{x}$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int x e^{x} + 2 d y$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = x e^{x} + 2$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + C$

चरण 6

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + g (x)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [(x e^{x} + 2) y + g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

चरण 8.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $(x e^{x} + 2) y + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [(x e^{x} + 2) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [(x e^{x} + 2) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

चरण 8.3

$\frac{d}{d x} [(x e^{x} + 2) y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

चूंकि $y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $(x e^{x} + 2) y$ का व्युत्पन्न $y \frac{d}{d x} [x e^{x} + 2]$ है.

$y \frac{d}{d x} [x e^{x} + 2] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

चरण 8.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x e^{x} + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$y (\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

चरण 8.3.3

$y (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

चरण 8.3.4

$y (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

चरण 8.3.5

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

चरण 8.3.6

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

चरण 8.3.7

$e^{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$y (x e^{x} + e^{x} + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

चरण 8.3.8

$x e^{x} + e^{x}$ और $0$ जोड़ें.

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

चरण 8.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d g}{d x} = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

चरण 8.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y (x e^{x}) + y e^{x} + \frac{d g}{d x} = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

चरण 8.5.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

चरण 8.5.3

गुणनखंडों को $\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + y e^{x} = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

चरण 9

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

गुणनखंडों को $1 + e^{x} y + x e^{x} y$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + y e^{x} = 1 + y e^{x} + x y e^{x}$

चरण 9.1.2

$\frac{d g}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x y e^{x}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} + y e^{x} = 1 + y e^{x} + x y e^{x} - x y e^{x}$

चरण 9.1.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $y e^{x}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = 1 + y e^{x} + x y e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$

चरण 9.1.2.3

$1 + y e^{x} + x y e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.3.1

$x y e^{x}$ में से $x y e^{x}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = 1 + y e^{x} + 0 - y e^{x}$

चरण 9.1.2.3.2

$1 + y e^{x}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = 1 + y e^{x} - y e^{x}$

चरण 9.1.2.3.3

$y e^{x}$ में से $y e^{x}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = 1 + 0$

चरण 9.1.2.3.4

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = 1$

चरण 10

$g (x)$ को खोजने के लिए $1$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d x} = 1$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int d x$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int d x$

चरण 10.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$g (x) = x + C$

चरण 11

$f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + x + C$

चरण 12

$f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + x + C$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x, y) = x e^{x} y + 2 y + x + C$

चरण 12.2

गुणनखंडों को $f (x, y) = x e^{x} y + 2 y + x + C$ में पुन: क्रमित करें.

$f (x, y) = x y e^{x} + 2 y + x + C$