कैलकुलस उदाहरण

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = x \sin (x)$

चरण 1

डिफरेन्शल इक्वेश़न को $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = x \sin (x)$ के प्रत्येक पद को $x$ से विभाजित करें.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \sin (x)}{x}$

चरण 1.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \sin (x)}{x}$

चरण 1.2.2

$\frac{d y}{d x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \sin (x)}{x}$

चरण 1.3

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \sin (x)}{x}$

चरण 1.3.2

$\sin (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \sin (x)$

चरण 1.4

$\frac{2 y}{x}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = \sin (x)$

चरण 1.5

$y$ और $\frac{2}{x}$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = \sin (x)$

चरण 2

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = \frac{2}{x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

चरण 2.2

$\frac{2}{x}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

चरण 2.2.2

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

चरण 2.2.3

सरल करें.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

चरण 2.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{2 \ln (x)}$

चरण 2.4

लघुगणक घात नियम का प्रयोग करें.

$e^{\ln (x^{2})}$

चरण 2.5

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$x^{2}$

चरण 3

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पद को $x^{2}$ से गुणा करें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \sin (x)$

चरण 3.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\frac{2}{x}$ और $y$ को मिलाएं.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \sin (x)$

चरण 3.2.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \sin (x)$

चरण 3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \sin (x)$

चरण 3.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \sin (x)$

चरण 3.2.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \sin (x)$

चरण 4

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x^{2} \sin (x)$

चरण 5

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x^{2} \sin (x) d x$

चरण 6

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$x^{2} y = \int x^{2} \sin (x) d x$

चरण 7

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x^{2}$ और $d v = \sin (x)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) - \int - \cos (x) (2 x) d x$

चरण 7.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) - \int - 2 \cos (x) x d x$

चरण 7.3

चूँकि $- 2$ बटे $x$ अचर है, $- 2$ को समाकलन से हटा दें.

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) - (- 2 \int \cos (x) x d x)$

चरण 7.4

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) + 2 \int \cos (x) x d x$

चरण 7.5

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = \cos (x)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - \int \sin (x) d x)$

चरण 7.6

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का इंटीग्रल $- \cos (x)$ है.

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C))$

चरण 7.7

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.7.1

$x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C))$ को $- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) - - \cos (x)) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{2} y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) - - \cos (x)) + C$

चरण 7.7.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.7.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$x^{2} y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + 1 \cos (x)) + C$

चरण 7.7.2.2

$\cos (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$x^{2} y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$

चरण 8

$x^{2} y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$ के प्रत्येक पद को $x^{2}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$x^{2} y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$ के प्रत्येक पद को $x^{2}$ से विभाजित करें.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x^{2}} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 8.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x^{2}} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 8.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x^{2}} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 8.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x^{2}} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 8.3.1.1.2

$- \cos (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = - \cos (x) + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 8.3.1.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = - \cos (x) + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C}{x^{2}}$

चरण 8.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = - \cos (x) + \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

चरण 8.3.3

$- \cos (x)$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ से गुणा करें.

$y = - \cos (x) \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

चरण 8.3.4

$- \cos (x)$ और $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ को मिलाएं.

$y = \frac{- \cos (x) x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

चरण 8.3.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{- \cos (x) x^{2} + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

चरण 8.3.6

$- \cos (x) x^{2}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2}) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

चरण 8.3.7

$2 x \sin (x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2}) - (- 2 x \sin (x)) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

चरण 8.3.8

$- (\cos (x) x^{2}) - (- 2 x \sin (x))$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x)) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

चरण 8.3.9

$2 \cos (x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x)) - (- 2 \cos (x)) + C}{x^{2}}$

चरण 8.3.10

$- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x)) - (- 2 \cos (x))$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)) + C}{x^{2}}$

चरण 8.3.11

$C$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)) - 1 (- C)}{x^{2}}$

चरण 8.3.12

$- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)) - 1 (- C)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)}{x^{2}}$

चरण 8.3.13

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.13.1

$- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)$ को $- 1 (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{- 1 (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)}{x^{2}}$

चरण 8.3.13.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = - \frac{\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C}{x^{2}}$

चरण 8.3.13.3

गुणनखंडों को $- \frac{\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C}{x^{2}}$ में पुन: क्रमित करें.

$y = - \frac{x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C}{x^{2}}$