कैलकुलस उदाहरण

$e^{y} (1 + x^{2}) d y - 2 x (1 + e^{y}) d x = 0$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों में $2 x (1 + e^{y}) d x$ जोड़ें.

$e^{y} (1 + x^{2}) d y = 2 x (1 + e^{y}) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (e^{y} (1 + x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (2 x (1 + e^{y})) d x$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$1 + x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$e^{y} (1 + x^{2})$ में से $1 + x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} ((1 + x^{2}) e^{y}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (2 x (1 + e^{y})) d x$

चरण 3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} ((1 + x^{2}) e^{y}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (2 x (1 + e^{y})) d x$

चरण 3.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{1 + e^{y}} e^{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (2 x (1 + e^{y})) d x$

चरण 3.2

$\frac{1}{1 + e^{y}}$ और $e^{y}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (2 x (1 + e^{y})) d x$

चरण 3.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = 2 \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (x (1 + e^{y})) d x$

चरण 3.4

$2$ और $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{2}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (x (1 + e^{y})) d x$

चरण 3.5

$1 + e^{y}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$(1 + x^{2}) (1 + e^{y})$ में से $1 + e^{y}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{2}{(1 + e^{y}) (1 + x^{2})} (x (1 + e^{y})) d x$

चरण 3.5.2

$x (1 + e^{y})$ में से $1 + e^{y}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{2}{(1 + e^{y}) (1 + x^{2})} ((1 + e^{y}) x) d x$

चरण 3.5.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{2}{(1 + e^{y}) (1 + x^{2})} ((1 + e^{y}) x) d x$

चरण 3.5.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{2}{1 + x^{2}} x d x$

चरण 3.6

$\frac{2}{1 + x^{2}}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

चरण 4

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

चरण 4.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

मान लीजिए $u_{1} = 1 + e^{y}$ .फिर $d u_{1} = e^{y} d y$ , तो $\frac{1}{e^{y}} d u_{1} = d y$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

मान लें $u_{1} = 1 + e^{y}$ . $\frac{d u_{1}}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1.1

$1 + e^{y}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [1 + e^{y}]$

चरण 4.2.1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $1 + e^{y}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$ है.

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

चरण 4.2.1.1.2.2

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

चरण 4.2.1.1.3

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ $a^{y} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$0 + e^{y}$

चरण 4.2.1.1.4

$0$ और $e^{y}$ जोड़ें.

$e^{y}$

चरण 4.2.1.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

चरण 4.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{1}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{1} |)$ है.

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

चरण 4.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $1 + e^{y}$ से बदलें.

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

चरण 4.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = 2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

चरण 4.3.2

मान लीजिए $u_{2} = 1 + x^{2}$ .फिर $d u_{2} = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

मान लें $u_{2} = 1 + x^{2}$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.1

$1 + x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

चरण 4.3.2.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 4.3.2.1.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 4.3.2.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 + 2 x$

चरण 4.3.2.1.5

$0$ और $2 x$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 4.3.2.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 4.3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

$\frac{1}{u_{2}}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

चरण 4.3.3.2

$2$ को $u_{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

चरण 4.3.4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

चरण 4.3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.1

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 4.3.5.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 4.3.5.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 4.3.5.3

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 4.3.6

$u_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{2} |)$ है.

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

चरण 4.3.7

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $1 + x^{2}$ से बदलें.

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

चरण 4.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| 1 + e^{y} |) = \ln (| 1 + x^{2} |) + C$