कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 2 \frac{d y}{d x} - 3 y = 5$

चरण 1

मान लें कि सभी समाधान $y = e^{r x}$ के रूप में हैं.

चरण 2

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 2 \frac{d y}{d x} - 3 y = 5$ के लिए अभिलाक्षणिक समीकरण पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

चरण 2.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

चरण 2.3

डिफरेन्शल इक्वेश़न में प्रतिस्थापित करें

$r^{2} e^{r x} - 2 (r e^{r x}) - 3 e^{r x} = 5$

चरण 2.4

कोष्ठक हटा दें.

$r^{2} e^{r x} - 2 r e^{r x} - 3 e^{r x} = 5$

चरण 2.5

$e^{r x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$r^{2} e^{r x}$ में से $e^{r x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{r x} r^{2} - 2 r e^{r x} - 3 e^{r x} = 5$

चरण 2.5.2

$- 2 r e^{r x}$ में से $e^{r x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 2 r) - 3 e^{r x} = 5$

चरण 2.5.3

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 2 r)$ में से $e^{r x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{r x} (r^{2} - 2 r) - 3 e^{r x} = 5$

चरण 2.5.4

$- 3 e^{r x}$ में से $e^{r x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{r x} (r^{2} - 2 r) + e^{r x} \cdot - 3 = 5$

चरण 2.5.5

$e^{r x} (r^{2} - 2 r) + e^{r x} \cdot - 3$ में से $e^{r x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{r x} (r^{2} - 2 r - 3) = 5$

चरण 2.6

चूंकि घातांक कभी शून्य नहीं हो सकते, इसलिए दोनों पक्षों को $e^{r x}$ से विभाजित करें.

$r^{2} - 2 r - 3 = 5$

चरण 3

$r$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $5$ घटाएं.

$r^{2} - 2 r - 3 - 5 = 0$

चरण 3.2

$- 3$ में से $5$ घटाएं.

$r^{2} - 2 r - 8 = 0$

चरण 3.3

AC विधि का उपयोग करके $r^{2} - 2 r - 8$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 8$ है और जिसका योग $- 2$ है.

$- 4, 2$

चरण 3.3.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$(r - 4) (r + 2) = 0$

चरण 3.4

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$r - 4 = 0$

$r + 2 = 0$

चरण 3.5

$r - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $r$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$r - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$r - 4 = 0$

चरण 3.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$r = 4$

चरण 3.6

$r + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $r$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$r + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$r + 2 = 0$

चरण 3.6.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$r = - 2$

चरण 3.7

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(r - 4) (r + 2) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$r = 4, - 2$

चरण 4

$r$ के दो पाए गए मानों के साथ, दो समाधानों का निर्माण किया जा सकता है.

$y_{1} = e^{4 x}$

$y_{2} = e^{- 2 x}$

चरण 5

सुपरपोज़िशन के सिद्धांत के अनुसार, सामान्य समाधान दूसरे क्रम के सजातीय रैखिक डिफरेन्शल इक्वेश़न के लिए दो समाधानों का एक रैखिक संयोजन है.

$y = c_{1} e^{4 x} + c_{2} e^{- 2 x}$