कैलकुलस उदाहरण

$y'''' = x y + x - 2 y - 2$ para $y (0) = 1$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$\frac{d y}{d x} = (x y + x) - 2 y - 2$

चरण 1.1.1.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = x (y + 1) - 2 (y + 1)$

चरण 1.1.2

महत्तम समापवर्तक, $y + 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = (y + 1) (x - 2)$

चरण 1.2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{y + 1}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) (x - 2))$

चरण 1.3

$y + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) (x - 2))$

चरण 1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x - 2$

चरण 1.4

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y + 1} d y = (x - 2) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int x - 2 d x$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

मान लीजिए $u = y + 1$ . फिर $d u = d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

मान लें $u = y + 1$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.1

$y + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

चरण 2.2.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ है.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 2.2.1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 2.2.1.1.4

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 2.2.1.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 2.2.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u} d u = \int x - 2 d x$

चरण 2.2.2

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x - 2 d x$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y + 1$ से बदलें.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int x - 2 d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int x d x + \int - 2 d x$

चरण 2.3.2

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 2 d x$

चरण 2.3.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - 2 x + C_{3}$

चरण 2.3.4

सरल करें.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C_{4}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| y + 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| y + 1 |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C}$

चरण 3.2

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| y + 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C} = | y + 1 |$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

समीकरण को $| y + 1 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| y + 1 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C}$

चरण 3.3.2

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$| y + 1 | = e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C}$

चरण 3.3.3

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y + 1 = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C}$

चरण 3.3.4

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C} - 1$

चरण 4

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C}$ को $e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} e^{C} - 1$

चरण 4.2

$e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$

चरण 4.3

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$

चरण 5

$x$ के लिए $0$ और $y = C e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$ में $y$ के लिए $1$ को प्रतिस्थापित करके $C$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$1 = C e^{\frac{0^{2}}{2} - 2 \cdot 0} - 1$

चरण 6

$C$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

समीकरण को $C e^{\frac{0^{2}}{2} - 2 \cdot 0} - 1 = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$C e^{\frac{0^{2}}{2} - 2 \cdot 0} - 1 = 1$

चरण 6.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$C e^{\frac{0}{2} - 2 \cdot 0} - 1 = 1$

चरण 6.2.1.2

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$C e^{0 - 2 \cdot 0} - 1 = 1$

चरण 6.2.1.3

$- 2$ को $0$ से गुणा करें.

$C e^{0 + 0} - 1 = 1$

चरण 6.2.2

$0$ और $0$ जोड़ें.

$C e^{0} - 1 = 1$

चरण 6.2.3

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$C \cdot 1 - 1 = 1$

चरण 6.2.4

$C$ को $1$ से गुणा करें.

$C - 1 = 1$

चरण 6.3

$C$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$C = 1 + 1$

चरण 6.3.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$C = 2$

चरण 7

$2$ को $y = C e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$ में $C$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$2$ को $C$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = 2 e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$