कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x + y}$

चरण 1

$\frac{y}{x}$ के फलन के रूप में डिफरेन्शल इक्वेश़न को फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\frac{y}{x + y}$ को $\frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}}$ से गुणा करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x + y} \cdot \frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}}$

चरण 1.2

$\frac{y}{x + y}$ को $\frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}}$ से गुणा करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{(x + y) \frac{1}{x^{1}}}$

चरण 1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{x \frac{1}{x^{1}} + y \frac{1}{x^{1}}}$

चरण 1.4

सरल करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x^{1}}}$

चरण 1.5

सरल करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}}$

चरण 1.6

सरल करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}}$

चरण 1.7

$y$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}}$

चरण 1.8

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.8.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.8.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}}$

चरण 1.8.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + y \frac{1}{x}}$

चरण 1.8.2

$y$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + \frac{y}{x}}$

चरण 2

मान लें $V = \frac{y}{x}$ . $\frac{y}{x}$ के लिए $V$ को प्रतिस्थापित करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{V}{1 + V}$

चरण 3

$y$ के लिए $V = \frac{y}{x}$ हल करें.

$y = V x$

चरण 4

$x$ के संबंध में $y = V x$ का व्युत्पन्न ज्ञात करने के लिए उत्पाद नियम का उपयोग करें.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

चरण 5

$x \frac{d V}{d x} + V$ को $\frac{d y}{d x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1 + V}$

चरण 6

प्रतिस्थापित डिफरेन्शल इक्वेश़न को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $V$ घटाएं.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V} - V$

चरण 6.1.1.2

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V} - V$ के प्रत्येक पद को $x$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.2.1

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V} - V$ के प्रत्येक पद को $x$ से विभाजित करें.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{1 + V}}{x} + \frac{- V}{x}$

चरण 6.1.1.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.2.2.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{1 + V}}{x} + \frac{- V}{x}$

चरण 6.1.1.2.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V}}{x} + \frac{- V}{x}$

चरण 6.1.1.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.2.3.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V} - V}{x}$

चरण 6.1.1.2.3.2

$- V$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{1 + V}{1 + V}$ से गुणा करें.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V} - V \cdot \frac{1 + V}{1 + V}}{x}$

चरण 6.1.1.2.3.3

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.2.3.3.1

$- V$ और $\frac{1 + V}{1 + V}$ को मिलाएं.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V} + \frac{- V (1 + V)}{1 + V}}{x}$

चरण 6.1.1.2.3.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V - V (1 + V)}{1 + V}}{x}$

चरण 6.1.1.2.3.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.2.3.4.1

$V - V (1 + V)$ में से $V$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.2.3.4.1.1

$V$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{1} - V (1 + V)}{1 + V}}{x}$

चरण 6.1.1.2.3.4.1.2

$V^{1}$ में से $V$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot 1 - V (1 + V)}{1 + V}}{x}$

चरण 6.1.1.2.3.4.1.3

$- V (1 + V)$ में से $V$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot 1 + V (- (1 + V))}{1 + V}}{x}$

चरण 6.1.1.2.3.4.1.4

$V \cdot 1 + V (- (1 + V))$ में से $V$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (1 - (1 + V))}{1 + V}}{x}$

चरण 6.1.1.2.3.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (1 - 1 \cdot 1 - V)}{1 + V}}{x}$

चरण 6.1.1.2.3.4.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (1 - 1 - V)}{1 + V}}{x}$

चरण 6.1.1.2.3.4.4

$1$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (0 - V)}{1 + V}}{x}$

चरण 6.1.1.2.3.4.5

$0$ में से $V$ घटाएं.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot - 1 V}{1 + V}}{x}$

चरण 6.1.1.2.3.4.6

प्रतिपादकों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.2.3.4.6.1

गुणनखंड ऋणात्मक प्राप्त हुआ.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V \cdot V)}{1 + V}}{x}$

चरण 6.1.1.2.3.4.6.2

$V$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{1} V)}{1 + V}}{x}$

चरण 6.1.1.2.3.4.6.3

$V$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{1} V^{1})}{1 + V}}{x}$

चरण 6.1.1.2.3.4.6.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V^{1 + 1}}{1 + V}}{x}$

चरण 6.1.1.2.3.4.6.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V^{2}}{1 + V}}{x}$

चरण 6.1.1.2.3.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{2}}{1 + V}}{x}$

चरण 6.1.1.2.3.6

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2}}{1 + V} \cdot \frac{1}{x}$

चरण 6.1.1.2.3.7

$\frac{1}{x}$ को $\frac{V^{2}}{1 + V}$ से गुणा करें.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2}}{x (1 + V)}$

चरण 6.1.2

गुणनखंडों को पुनर्समूहन करें

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2}}{1 + V} \cdot \frac{1}{x}$

चरण 6.1.3

दोनों पक्षों को $\frac{1 + V}{V^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V}{V^{2}} (- \frac{V^{2}}{1 + V} \cdot \frac{1}{x})$

चरण 6.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.4.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 + V}{V^{2}} (\frac{V^{2}}{1 + V} \cdot \frac{1}{x})$

चरण 6.1.4.2

$\frac{V^{2}}{1 + V}$ को $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 + V}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{(1 + V) x}$

चरण 6.1.4.3

$1 + V$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.4.3.1

$- \frac{1 + V}{V^{2}}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{- (1 + V)}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{(1 + V) x}$

चरण 6.1.4.3.2

$- (1 + V)$ में से $1 + V$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) \cdot - 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{(1 + V) x}$

चरण 6.1.4.3.3

$(1 + V) x$ में से $1 + V$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) \cdot - 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{(1 + V) (x)}$

चरण 6.1.4.3.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) \cdot - 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{(1 + V) x}$

चरण 6.1.4.3.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

चरण 6.1.4.4

$V^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.4.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

चरण 6.1.4.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

चरण 6.1.5

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1 + V}{V^{2}} d V = - \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1 + V}{V^{2}} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1.1

$V^{2}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\int (1 + V) {(V^{2})}^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2.1.2

घातांक को ${(V^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + V) V^{2 \cdot - 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2.1.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int (1 + V) V^{- 2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2.2

$(1 + V) V^{- 2}$ गुणा करें.

$\int 1 V^{- 2} + V \cdot V^{- 2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.3.1

$V^{- 2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\int V^{- 2} + V \cdot V^{- 2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2.3.2

घातांक जोड़कर $V$ को $V^{- 2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.3.2.1

$V$ को $V^{- 2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.3.2.1.1

$V$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int V^{- 2} + V^{1} V^{- 2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2.3.2.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int V^{- 2} + V^{1 - 2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2.3.2.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\int V^{- 2} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2.4

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int V^{- 2} d V + \int V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2.5

घात नियम के अनुसार, $V$ के संबंध में $V^{- 2}$ का समाकलन $- V^{- 1}$ है.

$- V^{- 1} + C_{1} + \int V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2.6

$V$ के संबंध में $V^{- 1}$ का इंटीग्रल $\ln (| V |)$ है.

$- V^{- 1} + C_{1} + \ln (| V |) + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2.7

सरल करें.

$- \frac{1}{V} + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{1}{V} + \ln (| V |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.3.2

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$- \frac{1}{V} + \ln (| V |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4})$

चरण 6.2.3.3

सरल करें.

$- \frac{1}{V} + \ln (| V |) + C_{3} = - \ln (| x |) + C_{4}$

चरण 6.2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$- \frac{1}{V} + \ln (| V |) = - \ln (| x |) + C$

चरण 7

$\frac{y}{x}$ को $V$ से प्रतिस्थापित करें.

$- \frac{1}{\frac{y}{x}} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$

चरण 8

$y$ के लिए $- \frac{1}{\frac{y}{x}} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| \frac{y}{x} |) + \ln (| x |) = \frac{1}{\frac{y}{x}} + C$

चरण 8.2

लघुगणक की गुणनफल गुणधर्म, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ का उपयोग करें.

$\ln (| \frac{y}{x} | | x |) = \frac{1}{\frac{y}{x}} + C$

चरण 8.3

$| \frac{y}{x} | | x |$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

निरपेक्ष मानों को गुणा करने के लिए, प्रत्येक निरपेक्ष मान के अंदर के पदों को गुणा करें.

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot x |) = \frac{1}{\frac{y}{x}} + C$

चरण 8.3.2

$\frac{y}{x}$ और $x$ को मिलाएं.

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = \frac{1}{\frac{y}{x}} + C$

चरण 8.4

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = \frac{1}{\frac{y}{x}} + C$

चरण 8.4.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (| y |) = \frac{1}{\frac{y}{x}} + C$

चरण 8.5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\ln (| y |) = 1 (\frac{x}{y}) + C$

चरण 8.5.2

$\frac{x}{y}$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (| y |) = \frac{x}{y} + C$