कैलकुलस उदाहरण

$(4 x^{2} - y^{2}) d x - x y d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = 4 x^{2} - y^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x^{2} - y^{2}]$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $4 x^{2} - y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

चरण 1.2.2

चूंकि $y$ के संबंध में $4 x^{2}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $4 x^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $- 1$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- y^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - (2 y)$

चरण 1.3.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 y$

चरण 1.4

$0$ में से $2 y$ घटाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = - x y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x y]$

चरण 2.2

चूंकि $- y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x y$ का व्युत्पन्न $- y \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y \cdot 1$

चरण 2.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $- 2 y$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $- y$ प्रतिस्थापित करें.

$- 2 y = - y$

चरण 3.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$- 2 y = - y$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$- 2 y$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{- 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

चरण 4.2

$- y$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{- 2 y - - y}{N}$

चरण 4.3

$- x y$ को $N$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$- x y$ को $N$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{- 2 y - - y}{- x y}$

चरण 4.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

$- 2 y - - y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.1

$- 2 y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y \cdot - 2 - - y}{- x y}$

चरण 4.3.2.1.2

$- - y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y \cdot - 2 + y (- - 1)}{- x y}$

चरण 4.3.2.1.3

$y \cdot - 2 + y (- - 1)$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y (- 2 - - 1)}{- x y}$

चरण 4.3.2.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{y (- 2 + 1)}{- x y}$

चरण 4.3.2.3

$- 2$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{y \cdot - 1}{- x y}$

चरण 4.3.3

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y \cdot - 1}{- x y}$

चरण 4.3.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 1}{- x}$

चरण 4.3.4

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{1}{x}$

चरण 4.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

चरण 5

इंटिग्रल $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

चरण 5.2

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

चरण 5.2.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$μ (x, y) = | x | + C$

चरण 6

$(4 x^{2} - y^{2}) d x - x y d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$4 x^{2} - y^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

$(4 x^{2} - y^{2}) x d x - x y d y = 0$

चरण 6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(4 x^{2} x - y^{2} x) d x - x y d y = 0$

चरण 6.3

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$x$ ले जाएं.

$(4 (x \cdot x^{2}) - y^{2} x) d x - x y d y = 0$

चरण 6.3.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$(4 (x^{1} x^{2}) - y^{2} x) d x - x y d y = 0$

चरण 6.3.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$(4 x^{1 + 2} - y^{2} x) d x - x y d y = 0$

चरण 6.3.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$(4 x^{3} - y^{2} x) d x - x y d y = 0$

चरण 6.4

$- x y$ को $x$ से गुणा करें.

$(4 x^{3} - y^{2} x) d x - x y x d y = 0$

चरण 6.5

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1

$x$ ले जाएं.

$(4 x^{3} - y^{2} x) d x - (x \cdot x) y d y = 0$

चरण 6.5.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$(4 x^{3} - y^{2} x) d x - x^{2} y d y = 0$

चरण 7

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int - x^{2} y d y$

चरण 8

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = - x^{2} y$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

चूँकि $- x^{2}$ बटे $y$ अचर है, $- x^{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = - x^{2} \int y d y$

चरण 8.2

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$f (x, y) = - x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

चरण 8.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$- x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ को $- x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (x, y) = - x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$

चरण 8.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} y^{2} + C$

चरण 8.3.2.2

$y^{2}$ और $\frac{x^{2}}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = - \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

चरण 8.3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.3.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} y^{2} x^{2}) + C$

चरण 8.3.3.2

कोष्ठक हटा दें.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} y^{2}) x^{2} + C$

चरण 8.3.3.3

कोष्ठक हटा दें.

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

चरण 9

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (x)$

चरण 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = 4 x^{3} - y^{2} x$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (x)] = 4 x^{3} - y^{2} x$

चरण 11.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} - y^{2} x$

चरण 11.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

$y^{2}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} - y^{2} x$

चरण 11.3.2

$x^{2}$ और $\frac{y^{2}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} - y^{2} x$

चरण 11.3.3

चूंकि $- \frac{y^{2}}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{x^{2} y^{2}}{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$- \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} - y^{2} x$

चरण 11.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$- \frac{y^{2}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} - y^{2} x$

चरण 11.3.5

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 \frac{y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} - y^{2} x$

चरण 11.3.6

$- 2$ और $\frac{y^{2}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{- 2 y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} - y^{2} x$

चरण 11.3.7

$\frac{- 2 y^{2}}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{- 2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} - y^{2} x$

चरण 11.3.8

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.8.1

$- 2 y^{2} x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} - y^{2} x$

चरण 11.3.8.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.8.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} - y^{2} x$

चरण 11.3.8.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} - y^{2} x$

चरण 11.3.8.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- y^{2} x}{1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} - y^{2} x$

चरण 11.3.8.2.4

$- y^{2} x$ को $1$ से विभाजित करें.

$- y^{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} - y^{2} x$

चरण 11.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$- y^{2} x + \frac{d g}{d x} = 4 x^{3} - y^{2} x$

चरण 11.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} - y^{2} x = 4 x^{3} - y^{2} x$

चरण 12

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{d g}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $y^{2} x$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3} - y^{2} x + y^{2} x$

चरण 12.1.2

$4 x^{3} - y^{2} x + y^{2} x$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.2.1

$- y^{2} x$ और $y^{2} x$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3} + 0$

चरण 12.1.2.2

$4 x^{3}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3}$

चरण 13

$g (x)$ को खोजने के लिए $4 x^{3}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 4 x^{3} d x$

चरण 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int 4 x^{3} d x$

चरण 13.3

चूँकि $4$ बटे $x$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$g (x) = 4 \int x^{3} d x$

चरण 13.4

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} x^{4}$ है.

$g (x) = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

चरण 13.5

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.5.1

$4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ को $4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$g (x) = 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

चरण 13.5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.5.2.1

$4$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$g (x) = \frac{4}{4} x^{4} + C$

चरण 13.5.2.2

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.5.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$g (x) = \frac{4}{4} x^{4} + C$

चरण 13.5.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$g (x) = 1 x^{4} + C$

चरण 13.5.2.3

$x^{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$g (x) = x^{4} + C$

चरण 14

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + x^{4} + C$

चरण 15

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$y^{2}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} x^{2} + x^{4} + C$

चरण 15.2

$x^{2}$ और $\frac{y^{2}}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = - \frac{x^{2} y^{2}}{2} + x^{4} + C$