कैलकुलस उदाहरण

$(y + x) d y = (x - y) d x$

चरण 1

सटीक डिफरेन्शल इक्वेश़न तकनीक को फिट करने के लिए डिफरेन्शल इक्वेश़न को फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $(x - y) d x$ घटाएं.

$(y + x) d y - (x - y) d x = 0$

चरण 1.2

फिर से लिखें.

$- (x - y) d x + (y + x) d y = 0$

चरण 2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = - (x - y)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x - y)]$

चरण 2.2

चूंकि $- 1$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- (x - y)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d y} [x - y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x - y]$

चरण 2.3

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $x - y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y])$

चरण 2.4

चूंकि $y$ के संबंध में $x$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [- y])$

चरण 2.5

$0$ और $\frac{d}{d y} [- y]$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [- y]$

चरण 2.6

चूंकि $- 1$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- y$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - \frac{d}{d y} [y]$

चरण 2.7

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 \frac{d}{d y} [y]$

चरण 2.7.2

$\frac{d}{d y} [y]$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

चरण 2.8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

चरण 3

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = y + x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + x]$

चरण 3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $y + x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 1$

चरण 3.5

$0$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

चरण 4

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $1$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $1$ प्रतिस्थापित करें.

$1 = 1$

चरण 4.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$1 = 1$ एक सर्वसमिका है.

चरण 5

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int - (x - y) d x$

चरण 6

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = - (x - y)$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = - \int x - y d x$

चरण 6.2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = - (\int x d x + \int - y d x)$

चरण 6.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - y d x)$

चरण 6.4

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C - y x + C)$

चरण 6.5

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = - (\frac{x^{2}}{2} + C - y x + C)$

चरण 6.6

सरल करें.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + C$

चरण 7

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + g (y)$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = y + x$

चरण 9

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [- (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + g (y)] = y + x$

चरण 9.2

योग नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x) + g (y)] = y + x$

चरण 9.2.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $- (\frac{x^{2}}{2} - y x) + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x$

चरण 9.3

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

चूंकि $- 1$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- (\frac{x^{2}}{2} - y x)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2} - y x]$ है.

$- \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2} - y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x$

चरण 9.3.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $\frac{x^{2}}{2} - y x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [- y x]$ है.

$- (\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [- y x]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x$

चरण 9.3.3

चूंकि $y$ के संबंध में $\frac{x^{2}}{2}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $\frac{x^{2}}{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- (0 + \frac{d}{d y} [- y x]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x$

चरण 9.3.4

चूंकि $- x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- y x$ का व्युत्पन्न $- x \frac{d}{d y} [y]$ है.

$- (0 - x \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x$

चरण 9.3.5

$- (0 - x \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x$

चरण 9.3.6

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- (0 - x) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x$

चरण 9.3.7

$0$ में से $x$ घटाएं.

$- - x + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x$

चरण 9.3.8

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x$

चरण 9.3.9

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x$

चरण 9.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$x + \frac{d g}{d y} = y + x$

चरण 9.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} + x = y + x$

चरण 10

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = y + x - x$

चरण 10.1.2

$y + x - x$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.2.1

$x$ में से $x$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = y + 0$

चरण 10.1.2.2

$y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = y$

चरण 11

$g (y)$ को खोजने के लिए $y$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$\frac{d g}{d y} = y$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y d y$

चरण 11.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int y d y$

चरण 11.3

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

चरण 12

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

चरण 13

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = - (\frac{x^{2}}{2} - y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

चरण 13.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} - (- y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

चरण 13.3

$- (- y x)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + 1 (y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

चरण 13.3.2

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + y x + \frac{1}{2} y^{2} + C$

चरण 13.4

$\frac{1}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + y x + \frac{y^{2}}{2} + C$