कैलकुलस उदाहरण

$(2 x + 3 y - 2) d x + (3 x - 4 y + 1) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = 2 x + 3 y - 2$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + 3 y - 2]$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $2 x + 3 y - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

चरण 1.2.2

चूंकि $y$ के संबंध में $2 x$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [3 y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $3$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $3 y$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2]$

चरण 1.3.3

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 + \frac{d}{d y} [- 2]$

चरण 1.4

चूंकि $y$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 + 0$

चरण 1.5

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$0$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 + 0$

चरण 1.5.2

$3$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = 3 x - 4 y + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x - 4 y + 1]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x - 4 y + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.3.3

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 4 y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4 y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 + 0 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.4.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 + 0 + 0$

चरण 2.5

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$3$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 + 0$

चरण 2.5.2

$3$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $3$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $3$ प्रतिस्थापित करें.

$3 = 3$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$3 = 3$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int 2 x + 3 y - 2 d x$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = 2 x + 3 y - 2$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = \int 2 x d x + \int 3 y d x + \int - 2 d x$

चरण 5.2

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = 2 \int x d x + \int 3 y d x + \int - 2 d x$

चरण 5.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 3 y d x + \int - 2 d x$

चरण 5.4

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 y x + C + \int - 2 d x$

चरण 5.5

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 y x + C + \int - 2 d x$

चरण 5.6

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 y x + C - 2 x + C$

चरण 5.7

सरल करें.

$f (x, y) = x^{2} + 3 y x - 2 x + C$

चरण 6

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = x^{2} + 3 y x - 2 x + g (y)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x - 4 y + 1$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [x^{2} + 3 y x - 2 x + g (y)] = 3 x - 4 y + 1$

चरण 8.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $x^{2} + 3 y x - 2 x + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [3 y x] + \frac{d}{d y} [- 2 x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [3 y x] + \frac{d}{d y} [- 2 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x - 4 y + 1$

चरण 8.2.2

चूंकि $y$ के संबंध में $x^{2}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $x^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d y} [3 y x] + \frac{d}{d y} [- 2 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x - 4 y + 1$

चरण 8.3

$\frac{d}{d y} [3 y x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

चूंकि $3 x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $3 y x$ का व्युत्पन्न $3 x \frac{d}{d y} [y]$ है.

$0 + 3 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x - 4 y + 1$

चरण 8.3.2

$0 + 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x - 4 y + 1$

चरण 8.3.3

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$0 + 3 x + \frac{d}{d y} [- 2 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x - 4 y + 1$

चरण 8.4

चूंकि $y$ के संबंध में $- 2 x$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- 2 x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + 3 x + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x - 4 y + 1$

चरण 8.5

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$0 + 3 x + 0 + \frac{d g}{d y} = 3 x - 4 y + 1$

चरण 8.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.6.1

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.6.1.1

$0$ और $3 x$ जोड़ें.

$3 x + 0 + \frac{d g}{d y} = 3 x - 4 y + 1$

चरण 8.6.1.2

$3 x$ और $0$ जोड़ें.

$3 x + \frac{d g}{d y} = 3 x - 4 y + 1$

चरण 8.6.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} + 3 x = 3 x - 4 y + 1$

चरण 9

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $3 x$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = 3 x - 4 y + 1 - 3 x$

चरण 9.1.2

$3 x - 4 y + 1 - 3 x$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.1

$3 x$ में से $3 x$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = - 4 y + 1 + 0$

चरण 9.1.2.2

$- 4 y + 1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = - 4 y + 1$

चरण 10

$g (y)$ को खोजने के लिए $- 4 y + 1$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d y} = - 4 y + 1$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 4 y + 1 d y$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int - 4 y + 1 d y$

चरण 10.3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$g (y) = \int - 4 y d y + \int d y$

चरण 10.4

चूँकि $- 4$ बटे $y$ अचर है, $- 4$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = - 4 \int y d y + \int d y$

चरण 10.5

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$g (y) = - 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int d y$

चरण 10.6

स्थिरांक नियम लागू करें.

$g (y) = - 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + y + C$

चरण 10.7

$\frac{1}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$g (y) = - 4 (\frac{y^{2}}{2} + C) + y + C$

चरण 10.8

सरल करें.

$g (y) = - 2 y^{2} + y + C$

चरण 11

$f (x, y) = x^{2} + 3 y x - 2 x + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = x^{2} + 3 y x - 2 x - 2 y^{2} + y + C$