कैलकुलस उदाहरण

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y = x^{2} - 1$

चरण 1

जाँच करें कि क्या समीकरण का बायाँ पक्ष $(x + 1) y$ पद के व्युत्पन्न का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x + 1$ और $g (x) = y$ है.

$(x + 1) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$(x + 1) y' + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

चरण 1.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$(x + 1) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$(x + 1) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 1.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(x + 1) y' + y (1 + 0)$

चरण 1.6

$1$ और $0$ जोड़ें.

$(x + 1) y' + y \cdot 1$

चरण 1.7

$\frac{d y}{d x}$ को $y'$ से प्रतिस्थापित करें.

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

चरण 1.8

$y$ और $1$ को पुन: क्रमित करें.

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

चरण 1.9

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y$

चरण 2

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [(x + 1) y] = x^{2} - 1$

चरण 3

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [(x + 1) y] d x = \int x^{2} - 1 d x$

चरण 4

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$(x + 1) y = \int x^{2} - 1 d x$

चरण 5

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$(x + 1) y = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

चरण 5.2

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 1 d x$

चरण 5.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} + C - x + C$

चरण 5.4

सरल करें.

$(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$

चरण 6

$(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ के प्रत्येक पद को $x + 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ के प्रत्येक पद को $x + 1$ से विभाजित करें.

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

चरण 6.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$x + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

चरण 6.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

चरण 6.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1

$\frac{1}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

चरण 6.3.1.2

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$y = \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

चरण 6.3.1.3

$\frac{x^{3}}{3}$ को $\frac{1}{x + 1}$ से गुणा करें.

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

चरण 6.3.1.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} - \frac{x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

चरण 6.3.2

$- \frac{x}{x + 1}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} - \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{3}{3} + \frac{C}{x + 1}$

चरण 6.3.3

प्रत्येक व्यंजक को $3 (x + 1)$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.1

$\frac{x}{x + 1}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} - \frac{x \cdot 3}{(x + 1) \cdot 3} + \frac{C}{x + 1}$

चरण 6.3.3.2

$(x + 1) \cdot 3$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} - \frac{x \cdot 3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

चरण 6.3.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{x^{3} - x \cdot 3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

चरण 6.3.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.5.1

$x^{3} - x \cdot 3$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.5.1.1

$x^{3}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{x \cdot x^{2} - x \cdot 3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

चरण 6.3.5.1.2

$- x \cdot 3$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{x \cdot x^{2} + x (- 1 \cdot 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

चरण 6.3.5.1.3

$x \cdot x^{2} + x (- 1 \cdot 3)$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{x (x^{2} - 1 \cdot 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

चरण 6.3.5.2

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$y = \frac{x (x^{2} - 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

चरण 6.3.6

$\frac{C}{x + 1}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$y = \frac{x (x^{2} - 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1} \cdot \frac{3}{3}$

चरण 6.3.7

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.7.1

$\frac{C}{x + 1}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$y = \frac{x (x^{2} - 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C \cdot 3}{(x + 1) \cdot 3}$

चरण 6.3.7.2

$(x + 1) \cdot 3$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$y = \frac{x (x^{2} - 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

चरण 6.3.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{x (x^{2} - 3) + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

चरण 6.3.9

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.9.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 3 + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

चरण 6.3.9.2

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.9.2.1

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.9.2.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{x^{1} x^{2} + x \cdot - 3 + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

चरण 6.3.9.2.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y = \frac{x^{1 + 2} + x \cdot - 3 + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

चरण 6.3.9.2.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$y = \frac{x^{3} + x \cdot - 3 + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

चरण 6.3.9.3

$- 3$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = \frac{x^{3} - 3 \cdot x + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

चरण 6.3.9.4

$3$ को $C$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = \frac{x^{3} - 3 x + 3 C}{3 (x + 1)}$