कैलकुलस उदाहरण

$(\cos (x) \sin (x) - x y^{2}) d x + y (1 - x^{2}) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\cos (x) \sin (x) - x y^{2}]$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $\cos (x) \sin (x) - x y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}]$

चरण 1.2.2

चूंकि $y$ के संबंध में $\cos (x) \sin (x)$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $\cos (x) \sin (x)$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- x y^{2}]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [- x y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $- x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- x y^{2}$ का व्युत्पन्न $- x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x (2 y)$

चरण 1.3.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y$

चरण 1.4

$0$ में से $2 x y$ घटाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x y$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = y (1 - x^{2})$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y (1 - x^{2})]$

चरण 2.2

चूंकि $y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $y (1 - x^{2})$ का व्युत्पन्न $y \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

चरण 2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

चरण 2.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

चरण 2.5

$0$ और $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 2.6

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 2.7

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (- (2 x))$

चरण 2.8

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (- 2 x)$

चरण 2.8.2

$y (- 2 x)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x y$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $- 2 x y$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $- 2 x y$ प्रतिस्थापित करें.

$- 2 x y = - 2 x y$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$- 2 x y = - 2 x y$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int y (1 - x^{2}) d y$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = y (1 - x^{2})$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूँकि $1 - x^{2}$ बटे $y$ अचर है, $1 - x^{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = (1 - x^{2}) \int y d y$

चरण 5.2

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$f (x, y) = (1 - x^{2}) (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

चरण 5.3

$(1 - x^{2}) (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ को $(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (x, y) = (1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + C$

चरण 6

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = (1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

चरण 8.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

चरण 8.3

$\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$y^{2}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

चरण 8.3.2

चूंकि $\frac{y^{2}}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $(1 - x^{2}) \frac{y^{2}}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$ है.

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

चरण 8.3.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

चरण 8.3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{y^{2}}{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

चरण 8.3.5

$\frac{y^{2}}{2} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

चरण 8.3.6

$\frac{y^{2}}{2} (0 - (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

चरण 8.3.7

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{y^{2}}{2} (0 - 2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

चरण 8.3.8

$0$ में से $2 x$ घटाएं.

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

चरण 8.3.9

$- 2$ और $\frac{y^{2}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{- 2 y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

चरण 8.3.10

$\frac{- 2 y^{2}}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{- 2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

चरण 8.3.11

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.11.1

$- 2 y^{2} x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

चरण 8.3.11.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.11.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

चरण 8.3.11.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

चरण 8.3.11.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- y^{2} x}{1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

चरण 8.3.11.2.4

$- y^{2} x$ को $1$ से विभाजित करें.

$- y^{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

चरण 8.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$- y^{2} x + \frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

चरण 8.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} - y^{2} x = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

चरण 9

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $y^{2} x$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x) - x y^{2} + y^{2} x$

चरण 9.1.2

$\cos (x) \sin (x) - x y^{2} + y^{2} x$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.1

गुणनखंडों को $- x y^{2}$ और $y^{2} x$ पदों में पुन: व्यवस्थित करें.

$\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x) - y^{2} x + y^{2} x$

चरण 9.1.2.2

$- y^{2} x$ और $y^{2} x$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x) + 0$

चरण 9.1.2.3

$\cos (x) \sin (x)$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x)$

चरण 10

$g (x)$ को खोजने के लिए $\cos (x) \sin (x)$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x)$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \cos (x) \sin (x) d x$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int \cos (x) \sin (x) d x$

चरण 10.3

मान लीजिए $u = \cos (x)$ .फिर $d u = - \sin (x) d x$ , तो $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.1

मान लें $u = \cos (x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.1.1

$\cos (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 10.3.1.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$- \sin (x)$

चरण 10.3.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$g (x) = \int - u d u$

चरण 10.4

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$g (x) = - \int u d u$

चरण 10.5

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u$ का समाकलन $\frac{1}{2} u^{2}$ है.

$g (x) = - (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

चरण 10.6

$- (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ को $- \frac{1}{2} u^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$g (x) = - \frac{1}{2} u^{2} + C$

चरण 10.7

$u$ की सभी घटनाओं को $\cos (x)$ से बदलें.

$g (x) = - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

चरण 11

$f (x, y) = (1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = (1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

चरण 12

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x, y) = (1 (\frac{1}{2}) - x^{2} \frac{1}{2}) y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

चरण 12.2

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$f (x, y) = (\frac{1}{2} - x^{2} \frac{1}{2}) y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

चरण 12.3

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = (\frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2}) y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

चरण 12.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - \frac{x^{2}}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

चरण 12.5

$\frac{1}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

चरण 12.6

$y^{2}$ और $\frac{x^{2}}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{y^{2} x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

चरण 12.7

$\cos^{2} (x)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{y^{2} x^{2}}{2} - \frac{\cos^{2} (x)}{2} + C$