कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = e^{3 x} + 3 x$

चरण 1

समीकरण को फिर से लिखें.

$d y = (e^{3 x} + 3 x) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

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चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d y = \int e^{3 x} + 3 x d x$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{1} = \int e^{3 x} + 3 x d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

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चरण 2.3.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$y + C_{1} = \int e^{3 x} d x + \int 3 x d x$

चरण 2.3.2

मान लीजिए $u = 3 x$ .फिर $d u = 3 d x$ , तो $\frac{1}{3} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 2.3.2.1

मान लें $u = 3 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 2.3.2.1.1

$3 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

चरण 2.3.2.1.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 \cdot 1$

चरण 2.3.2.1.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3$

चरण 2.3.2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{3} d u + \int 3 x d x$

चरण 2.3.3

$e^{u}$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int 3 x d x$

चरण 2.3.4

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int e^{u} d u + \int 3 x d x$

चरण 2.3.5

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) + \int 3 x d x$

चरण 2.3.6

चूँकि $3$ बटे $x$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) + 3 \int x d x$

चरण 2.3.7

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

चरण 2.3.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.8.1

सरल करें.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} + 3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.8.2

$3$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} + \frac{3}{2} x^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.9

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x$ से बदलें.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{3 x} + \frac{3}{2} x^{2} + C_{4}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$y = \frac{1}{3} e^{3 x} + \frac{3}{2} x^{2} + K$