कैलकुलस उदाहरण

$x \frac{d y}{d x} + y = 4 x$ , $y (1) = 8$

चरण 1

जाँच करें कि क्या समीकरण का बायाँ पक्ष $x y$ पद के व्युत्पन्न का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = y$ है.

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x y' + y \cdot 1$

चरण 1.4

$\frac{d y}{d x}$ को $y'$ से प्रतिस्थापित करें.

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

चरण 1.5

$y$ और $1$ को पुन: क्रमित करें.

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

चरण 1.6

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$x \frac{d y}{d x} + y$

चरण 2

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [x y] = 4 x$

चरण 3

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 4 x d x$

चरण 4

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$x y = \int 4 x d x$

चरण 5

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूँकि $4$ बटे $x$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$x y = 4 \int x d x$

चरण 5.2

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$x y = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

चरण 5.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ को $4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$x y = 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

चरण 5.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$4$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$x y = \frac{4}{2} x^{2} + C$

चरण 5.3.2.2

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$x y = \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C$

चरण 5.3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$x y = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C$

चरण 5.3.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x y = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

चरण 5.3.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x y = \frac{2}{1} x^{2} + C$

चरण 5.3.2.2.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$x y = 2 x^{2} + C$

चरण 6

$x y = 2 x^{2} + C$ के प्रत्येक पद को $x$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$x y = 2 x^{2} + C$ के प्रत्येक पद को $x$ से विभाजित करें.

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

चरण 6.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

चरण 6.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

चरण 6.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$x^{2}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1

$2 x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{x (2 x)}{x} + \frac{C}{x}$

चरण 6.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{x (2 x)}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

चरण 6.3.1.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

चरण 6.3.1.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

चरण 6.3.1.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{2 x}{1} + \frac{C}{x}$

चरण 6.3.1.2.5

$2 x$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = 2 x + \frac{C}{x}$

चरण 7

$x$ के लिए $1$ और $y = 2 x + \frac{C}{x}$ में $y$ के लिए $8$ को प्रतिस्थापित करके $C$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$8 = 2 \cdot 1 + \frac{C}{1}$

चरण 8

$C$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

समीकरण को $2 \cdot 1 + \frac{C}{1} = 8$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 \cdot 1 + \frac{C}{1} = 8$

चरण 8.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + \frac{C}{1} = 8$

चरण 8.2.2

$C$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 + C = 8$

चरण 8.3

$C$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$C = 8 - 2$

चरण 8.3.2

$8$ में से $2$ घटाएं.

$C = 6$

चरण 9

$6$ को $y = 2 x + \frac{C}{x}$ में $C$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$6$ को $C$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = 2 x + \frac{6}{x}$