कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} - 6 x y - 12 x = 0$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\frac{d y}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $6 x y$ जोड़ें.

$\frac{d y}{d x} - 12 x = 6 x y$

चरण 1.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $12 x$ जोड़ें.

$\frac{d y}{d x} = 6 x y + 12 x$

चरण 1.2

$6 x y + 12 x$ में से $6 x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$6 x y$ में से $6 x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = 6 x (y) + 12 x$

चरण 1.2.2

$12 x$ में से $6 x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = 6 x (y) + 6 x (2)$

चरण 1.2.3

$6 x (y) + 6 x (2)$ में से $6 x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = 6 x (y + 2)$

चरण 1.3

दोनों पक्षों को $\frac{1}{y + 2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 2} (6 x (y + 2))$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{y + 2} (x (y + 2))$

चरण 1.4.2

$6$ और $\frac{1}{y + 2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y + 2} (x (y + 2))$

चरण 1.4.3

$y + 2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.1

$x (y + 2)$ में से $y + 2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y + 2} ((y + 2) x)$

चरण 1.4.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y + 2} ((y + 2) x)$

चरण 1.4.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = 6 x$

चरण 1.5

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y + 2} d y = 6 x d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y + 2} d y = \int 6 x d x$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

मान लीजिए $u = y + 2$ . फिर $d u = d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

मान लें $u = y + 2$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.1

$y + 2$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

चरण 2.2.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ है.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

चरण 2.2.1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

चरण 2.2.1.1.4

चूंकि $y$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 2.2.1.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 2.2.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u} d u = \int 6 x d x$

चरण 2.2.2

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 6 x d x$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y + 2$ से बदलें.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \int 6 x d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूँकि $6$ बटे $x$ अचर है, $6$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = 6 \int x d x$

चरण 2.3.2

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

चरण 2.3.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ को $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

चरण 2.3.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.2.1

$6$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{6}{2} x^{2} + C_{2}$

चरण 2.3.3.2.2

$6$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.2.2.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C_{2}$

चरण 2.3.3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.2.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

चरण 2.3.3.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

चरण 2.3.3.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{3}{1} x^{2} + C_{2}$

चरण 2.3.3.2.2.2.4

$3$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = 3 x^{2} + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| y + 2 |) = 3 x^{2} + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| y + 2 |)} = e^{3 x^{2} + C}$

चरण 3.2

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| y + 2 |) = 3 x^{2} + C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{3 x^{2} + C} = | y + 2 |$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

समीकरण को $| y + 2 | = e^{3 x^{2} + C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| y + 2 | = e^{3 x^{2} + C}$

चरण 3.3.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y + 2 = \pm e^{3 x^{2} + C}$

चरण 3.3.3

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$y = \pm e^{3 x^{2} + C} - 2$

चरण 4

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$e^{3 x^{2} + C}$ को $e^{3 x^{2}} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm e^{3 x^{2}} e^{C} - 2$

चरण 4.2

$e^{3 x^{2}}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \pm e^{C} e^{3 x^{2}} - 2$

चरण 4.3

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = C e^{3 x^{2}} - 2$