कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y}$ , $y (0) = - 9$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दोनों पक्षों को $y$ से गुणा करें.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x}{y}$

चरण 1.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x}{y}$

चरण 1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y \frac{d y}{d x} = x$

चरण 1.3

समीकरण को फिर से लिखें.

$y d y = x d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int y d y = \int x d x$

चरण 2.2

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

चरण 2.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

चरण 3.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

चरण 3.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

चरण 3.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + K)$

चरण 3.2.2.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

चरण 3.2.2.1.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

चरण 3.2.2.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y^{2} = x^{2} + 2 K$

चरण 3.3

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$y = \pm \sqrt{x^{2} + 2 K}$

चरण 3.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$y = \sqrt{x^{2} + 2 K}$

चरण 3.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$y = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$

चरण 3.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$y = \sqrt{x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$

चरण 4

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \sqrt{x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + K}$

चरण 5

चूँकि $y$ प्रारंभिक स्थिति $(0, - 9)$ में ऋणात्मक है, $K$ ज्ञात करने के लिए केवल $y = - \sqrt{x^{2} + K}$ पर विचार करें. $x$ के लिए $0$ और $y$ के लिए $- 9$ प्रतिस्थापित करें.

$- 9 = - \sqrt{0^{2} + K}$

चरण 6

$K$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

समीकरण को $- \sqrt{0^{2} + K} = - 9$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \sqrt{0^{2} + K} = - 9$

चरण 6.2

समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें.

${(- \sqrt{0^{2} + K})}^{2} = {(- 9)}^{2}$

चरण 6.3

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$\sqrt{0^{2} + K}$ को ${(0^{2} + K)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${(- {(0^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 9)}^{2}$

चरण 6.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1

${(- {(0^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

${(- {(0 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 9)}^{2}$

चरण 6.3.2.1.2

$0$ और $K$ जोड़ें.

${(- K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 9)}^{2}$

चरण 6.3.2.1.3

उत्पाद नियम को $- K^{\frac{1}{2}}$ पर लागू करें.

${(- 1)}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 9)}^{2}$

चरण 6.3.2.1.4

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 9)}^{2}$

चरण 6.3.2.1.5

${(K^{\frac{1}{2}})}^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

${(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 9)}^{2}$

चरण 6.3.2.1.6

घातांक को ${(K^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1.6.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 9)}^{2}$

चरण 6.3.2.1.6.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1.6.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 9)}^{2}$

चरण 6.3.2.1.6.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$K^{1} = {(- 9)}^{2}$

चरण 6.3.2.1.7

सरल करें.

$K = {(- 9)}^{2}$

चरण 6.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.1

$- 9$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$K = 81$

चरण 7

$81$ को $y = - \sqrt{x^{2} + K}$ में $K$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$81$ को $K$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = - \sqrt{x^{2} + 81}$