कैलकुलस उदाहरण

$x y d x + 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = x y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y]$

चरण 1.2

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $x y$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1$

चरण 1.4

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = 2 (x^{2} + 2 y^{2})$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 (x^{2} + 2 y^{2})]$

चरण 2.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 (x^{2} + 2 y^{2})$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 y^{2}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 y^{2}]$

चरण 2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 2 y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}])$

चरण 2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (2 x + \frac{d}{d x} [2 y^{2}])$

चरण 2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $2 y^{2}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 y^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (2 x + 0)$

चरण 2.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (2 x)$

चरण 2.6.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $x$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $4 x$ प्रतिस्थापित करें.

$x = 4 x$

चरण 3.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$x = 4 x$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$4 x$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{4 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

चरण 4.2

$x$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{4 x - x}{M}$

चरण 4.3

$x y$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$x y$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{4 x - x}{x y}$

चरण 4.3.2

$4 x$ में से $x$ घटाएं.

$\frac{3 x}{x y}$

चरण 4.3.3

$x y$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 x}{x y}$

चरण 4.3.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3}{y}$

चरण 4.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int \frac{3}{y} d y}$

चरण 5

इंटिग्रल $e^{\int \frac{3}{y} d y}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूँकि $3$ बटे $y$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$μ (x, y) = e^{3 \int \frac{1}{y} d y}$

चरण 5.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$μ (x, y) = e^{3 (\ln (| y |) + C)}$

चरण 5.3

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{3 \ln (| y |)} + C$

चरण 5.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$3$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $3 \ln (| y |)$ को सरल करें.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{3})} + C$

चरण 5.4.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$μ (x, y) = {| y |}^{3} + C$

चरण 6

$x y d x + 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $y^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$x y$ को $y^{3}$ से गुणा करें.

$x y \cdot y^{3} d x + 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

चरण 6.2

घातांक जोड़कर $y$ को $y^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$y^{3}$ ले जाएं.

$x (y^{3} y) d x + 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

चरण 6.2.2

$y^{3}$ को $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x (y^{3} y^{1}) d x + 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

चरण 6.2.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x y^{3 + 1} d x + 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

चरण 6.2.3

$3$ और $1$ जोड़ें.

$x y^{4} d x + 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

चरण 6.3

$2 (x^{2} + 2 y^{2})$ को $y^{3}$ से गुणा करें.

$x y^{4} d x + 2 (x^{2} + 2 y^{2}) y^{3} d y = 0$

चरण 6.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x y^{4} d x + (2 x^{2} + 2 (2 y^{2})) y^{3} d y = 0$

चरण 6.5

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$x y^{4} d x + (2 x^{2} + 4 y^{2}) y^{3} d y = 0$

चरण 6.6

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x y^{4} d x + (2 x^{2} y^{3} + 4 y^{2} y^{3}) d y = 0$

चरण 6.7

घातांक जोड़कर $y^{2}$ को $y^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.1

$y^{3}$ ले जाएं.

$x y^{4} d x + (2 x^{2} y^{3} + 4 (y^{3} y^{2})) d y = 0$

चरण 6.7.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x y^{4} d x + (2 x^{2} y^{3} + 4 y^{3 + 2}) d y = 0$

चरण 6.7.3

$3$ और $2$ जोड़ें.

$x y^{4} d x + (2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}) d y = 0$

चरण 7

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int x y^{4} d x$

चरण 8

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = x y^{4}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

चूँकि $y^{4}$ बटे $x$ अचर है, $y^{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = y^{4} \int x d x$

चरण 8.2

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$f (x, y) = y^{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

चरण 8.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$y^{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ को $y^{4} \frac{1}{2} x^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (x, y) = y^{4} \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 8.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1

$y^{4}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{y^{4}}{2} x^{2} + C$

चरण 8.3.2.2

$\frac{y^{4}}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{y^{4} x^{2}}{2} + C$

चरण 8.3.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{4} x^{2} + C$

चरण 9

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{4} x^{2} + g (y)$

चरण 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{4} x^{2} + g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

चरण 11.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $\frac{1}{2} y^{4} x^{2} + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{4} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{4} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

चरण 11.3

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{4} x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

$\frac{1}{2}$ और $y^{4}$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

चरण 11.3.2

$\frac{y^{4}}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{4} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

चरण 11.3.3

चूंकि $\frac{x^{2}}{2}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $\frac{y^{4} x^{2}}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ है.

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

चरण 11.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$\frac{x^{2}}{2} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

चरण 11.3.5

$4$ और $\frac{x^{2}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{4 x^{2}}{2} y^{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

चरण 11.3.6

$\frac{4 x^{2}}{2}$ और $y^{3}$ को मिलाएं.

$\frac{4 x^{2} y^{3}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

चरण 11.3.7

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.7.1

$4 x^{2} y^{3}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (2 x^{2} y^{3})}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

चरण 11.3.7.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.7.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (2 x^{2} y^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

चरण 11.3.7.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (2 x^{2} y^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

चरण 11.3.7.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2 x^{2} y^{3}}{1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

चरण 11.3.7.2.4

$2 x^{2} y^{3}$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 x^{2} y^{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

चरण 11.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$2 x^{2} y^{3} + \frac{d g}{d y} = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

चरण 11.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} + 2 y^{3} x^{2} = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

चरण 12

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 y^{3} x^{2}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5} - 2 y^{3} x^{2}$

चरण 12.1.2

$2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5} - 2 y^{3} x^{2}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.2.1

गुणनखंडों को $2 x^{2} y^{3}$ और $- 2 y^{3} x^{2}$ पदों में पुन: व्यवस्थित करें.

$\frac{d g}{d y} = 2 y^{3} x^{2} + 4 y^{5} - 2 y^{3} x^{2}$

चरण 12.1.2.2

$2 y^{3} x^{2}$ में से $2 y^{3} x^{2}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = 4 y^{5} + 0$

चरण 12.1.2.3

$4 y^{5}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = 4 y^{5}$

चरण 13

$g (y)$ को खोजने के लिए $4 y^{5}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{d g}{d y} = 4 y^{5}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 4 y^{5} d y$

चरण 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int 4 y^{5} d y$

चरण 13.3

चूँकि $4$ बटे $y$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = 4 \int y^{5} d y$

चरण 13.4

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{5}$ का समाकलन $\frac{1}{6} y^{6}$ है.

$g (y) = 4 (\frac{1}{6} y^{6} + C)$

चरण 13.5

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.5.1

$4 (\frac{1}{6} y^{6} + C)$ को $4 (\frac{1}{6}) y^{6} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$g (y) = 4 (\frac{1}{6}) y^{6} + C$

चरण 13.5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.5.2.1

$4$ और $\frac{1}{6}$ को मिलाएं.

$g (y) = \frac{4}{6} y^{6} + C$

चरण 13.5.2.2

$4$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.5.2.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$g (y) = \frac{2 (2)}{6} y^{6} + C$

चरण 13.5.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.5.2.2.2.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} y^{6} + C$

चरण 13.5.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} y^{6} + C$

चरण 13.5.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$g (y) = \frac{2}{3} y^{6} + C$

चरण 14

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{4} x^{2} + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{4} x^{2} + \frac{2}{3} y^{6} + C$

चरण 15

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$\frac{1}{2}$ और $y^{4}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{y^{4}}{2} x^{2} + \frac{2}{3} y^{6} + C$

चरण 15.2

$\frac{y^{4}}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{y^{4} x^{2}}{2} + \frac{2}{3} y^{6} + C$

चरण 15.3

$\frac{2}{3}$ और $y^{6}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{y^{4} x^{2}}{2} + \frac{2 y^{6}}{3} + C$