कैलकुलस उदाहरण

$4 x y^{2} d x + (x^{2} + 1) d y = 0$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $4 x y^{2} d x$ घटाएं.

$(x^{2} + 1) d y = - 4 x y^{2} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (- 4 x y^{2}) d x$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$x^{2} + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$(x^{2} + 1) y^{2}$ में से $x^{2} + 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y^{2})} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (- 4 x y^{2}) d x$

चरण 3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (- 4 x y^{2}) d x$

चरण 3.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (- 4 x y^{2}) d x$

चरण 3.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - 4 \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

चरण 3.3

$- 4$ और $\frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{(x^{2} + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

चरण 3.4

$y^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$(x^{2} + 1) y^{2}$ में से $y^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{y^{2} (x^{2} + 1)} (x y^{2}) d x$

चरण 3.4.2

$x y^{2}$ में से $y^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{y^{2} (x^{2} + 1)} (y^{2} x) d x$

चरण 3.4.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{y^{2} (x^{2} + 1)} (y^{2} x) d x$

चरण 3.4.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{x^{2} + 1} x d x$

चरण 3.5

$\frac{- 4}{x^{2} + 1}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4 x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 3.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 4

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 4.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

$y^{2}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 4.2.1.2

घातांक को ${(y^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 4.2.1.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int y^{- 2} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 4.2.2

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{- 2}$ का समाकलन $- y^{- 1}$ है.

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 4.2.3

$- y^{- 1} + C_{1}$ को $- \frac{1}{y} + C_{1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 4.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 4.3.2

चूँकि $4$ बटे $x$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (4 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

चरण 4.3.3

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 4.3.4

मान लीजिए $u = x^{2} + 1$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.1

मान लें $u = x^{2} + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.1.1

$x^{2} + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 4.3.4.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 4.3.4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 4.3.4.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 x + 0$

चरण 4.3.4.1.5

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 4.3.4.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 4.3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

चरण 4.3.5.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{2 u} d u$

चरण 4.3.6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

चरण 4.3.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.7.1

$\frac{1}{2}$ और $- 4$ को मिलाएं.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 4.3.7.2

$- 4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.7.2.1

$- 4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 4.3.7.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.7.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 4.3.7.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 4.3.7.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 4.3.7.2.2.4

$- 2$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} d u$

चरण 4.3.8

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

चरण 4.3.9

सरल करें.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 \ln (| u |) + C_{2}$

चरण 4.3.10

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 1$ से बदलें.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

चरण 4.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$- \frac{1}{y} = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

चरण 5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- 2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ को सरल करें.

$- \frac{1}{y} = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) + C$

चरण 5.2

समीकरण के पदों का LCD पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

मान की एक सूची के LCD को पता करना उन मान के भाजक के LCM को पता करने के समान है.

$y, 1, 1$

चरण 5.2.2

एक और किसी भी व्यंजक का LCM (लघुत्तम समापवर्तक) व्यंजक है.

$y$

चरण 5.3

भिन्नों को हटाने के लिए $- \frac{1}{y} = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) + C$ के प्रत्येक पद को $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$- \frac{1}{y} = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) + C$ के प्रत्येक पद को $y$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{y} y = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) y + C y$

चरण 5.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.1

$- \frac{1}{y}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{- 1}{y} y = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) y + C y$

चरण 5.3.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 1}{y} y = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) y + C y$

चरण 5.3.2.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 1 = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) y + C y$

चरण 5.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

${| x^{2} + 1 |}^{2}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) y + C y$

चरण 5.3.3.2

गुणनखंडों को $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) y + C y$ में पुन: क्रमित करें.

$- 1 = - y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C y$

चरण 5.4

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

समीकरण को $- y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C y = - 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$- y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C y = - 1$

चरण 5.4.2

$- y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1

$- y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) + C y = - 1$

चरण 5.4.2.2

$C y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) + y C = - 1$

चरण 5.4.2.3

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) + y C$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C) = - 1$

चरण 5.4.3

$- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ को $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ के रूप में फिर से लिखें.

$y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C) = - 1$

चरण 5.4.4

$y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C) = - 1$ के प्रत्येक पद को $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.4.1

$y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C) = - 1$ के प्रत्येक पद को $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C$ से विभाजित करें.

$\frac{y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C)}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C} = \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$

चरण 5.4.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.4.2.1

$- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C)}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C} = \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$

चरण 5.4.4.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$

चरण 5.4.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.4.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = - \frac{1}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$

चरण 5.4.4.3.2

$- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = - \frac{1}{- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) + C}$

चरण 5.4.4.3.3

$C$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = - \frac{1}{- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) - 1 (- C)}$

चरण 5.4.4.3.4

$- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) - 1 (- C)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = - \frac{1}{- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C)}$

चरण 5.4.4.3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.4.3.5.1

$- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C)$ को $- 1 (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = - \frac{1}{- 1 (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C)}$

चरण 5.4.4.3.5.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = - - \frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C}$

चरण 5.4.4.3.5.3

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = 1 \frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C}$

चरण 5.4.4.3.5.4

$\frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C}$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C}$

चरण 6

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$