कैलकुलस उदाहरण

$(x y - 1) d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = x y - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y - 1]$

चरण 1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $x y - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [x y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $x y$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

चरण 1.3.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [- 1]$

चरण 1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

चूंकि $y$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0$

चरण 1.4.2

$x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = x^{2} - x y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - x y]$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - x y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- x y]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [- x y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $- y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x y$ का व्युत्पन्न $- y \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y \cdot 1$

चरण 2.3.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $x$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $2 x - y$ प्रतिस्थापित करें.

$x = 2 x - y$

चरण 3.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$x = 2 x - y$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{x - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

चरण 4.2

$2 x - y$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{x - (2 x - y)}{N}$

चरण 4.3

$x^{2} - x y$ को $N$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$x^{2} - x y$ को $N$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{x - (2 x - y)}{x^{2} - x y}$

चरण 4.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x - (2 x) - - y}{x^{2} - x y}$

चरण 4.3.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x - 2 x - - y}{x^{2} - x y}$

चरण 4.3.2.3

$- - y$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x - 2 x + 1 y}{x^{2} - x y}$

चरण 4.3.2.3.2

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x - 2 x + y}{x^{2} - x y}$

चरण 4.3.2.4

$x$ में से $2 x$ घटाएं.

$\frac{- x + y}{x^{2} - x y}$

चरण 4.3.3

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

$x^{2} - x y$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- x + y}{x \cdot x - x y}$

चरण 4.3.3.1.2

$- x y$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- x + y}{x \cdot x + x (- 1 y)}$

चरण 4.3.3.1.3

$x \cdot x + x (- 1 y)$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- x + y}{x (x - 1 y)}$

चरण 4.3.3.2

$- 1 y$ को $- y$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- x + y}{x (x - y)}$

चरण 4.3.4

$- x + y$ और $x - y$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.1

$- x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (x) + y}{x (x - y)}$

चरण 4.3.4.2

$y$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (x) - 1 (- y)}{x (x - y)}$

चरण 4.3.4.3

$- (x) - 1 (- y)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (x - y)}{x (x - y)}$

चरण 4.3.4.4

$- (x - y)$ को $- 1 (x - y)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (x - y)}{x (x - y)}$

चरण 4.3.4.5

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 1 (x - y)}{x (x - y)}$

चरण 4.3.4.6

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 1}{x}$

चरण 4.3.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{x}$

चरण 4.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

चरण 5

इंटिग्रल $e^{\int - \frac{1}{x} d x}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

चरण 5.2

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| x |) + C)}$

चरण 5.3

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x |)} + C$

चरण 5.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$- 1$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- \ln (| x |)$ को सरल करें.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 1})} + C$

चरण 5.4.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$μ (x, y) = {| x |}^{- 1} + C$

चरण 5.4.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$μ (x, y) = \frac{1}{| x |} + C$

चरण 6

$(x y - 1) d x + (x^{2} - x y) d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$x y - 1$ को $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

$(x y - 1) \frac{1}{x} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

चरण 6.2

$x y - 1$ को $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{x y - 1}{x} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

चरण 6.3

$x^{2} - x y$ को $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{x y - 1}{x} d x + (x^{2} - x y) \frac{1}{x} d y = 0$

चरण 6.4

$x^{2} - x y$ को $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{x y - 1}{x} d x + \frac{x^{2} - x y}{x} d y = 0$

चरण 6.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1

$x^{2} - x y$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x y - 1}{x} d x + \frac{x \cdot x - x y}{x} d y = 0$

चरण 6.5.1.2

$- x y$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x y - 1}{x} d x + \frac{x \cdot x + x (- 1 y)}{x} d y = 0$

चरण 6.5.1.3

$x \cdot x + x (- 1 y)$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x y - 1}{x} d x + \frac{x (x - 1 y)}{x} d y = 0$

चरण 6.5.2

$- 1 y$ को $- y$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x y - 1}{x} d x + \frac{x (x - y)}{x} d y = 0$

चरण 6.6

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x y - 1}{x} d x + \frac{x (x - y)}{x} d y = 0$

चरण 6.6.2

$x - y$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{x y - 1}{x} d x + (x - y) d y = 0$

चरण 7

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int x - y d y$

चरण 8

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = x - y$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = \int x d y + \int - y d y$

चरण 8.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = x y + C + \int - y d y$

चरण 8.3

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = x y + C - \int y d y$

चरण 8.4

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$f (x, y) = x y + C - (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

चरण 8.5

सरल करें.

$f (x, y) = x y - \frac{1}{2} y^{2} + C$

चरण 9

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = x y - \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

चरण 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x y - 1}{x}$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [x y - \frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = \frac{x y - 1}{x}$

चरण 11.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x y - \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y - 1}{x}$

चरण 11.3

$\frac{d}{d x} [x y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

चूंकि $y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $x y$ का व्युत्पन्न $y \frac{d}{d x} [x]$ है.

$y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y - 1}{x}$

चरण 11.3.2

$y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y - 1}{x}$

चरण 11.3.3

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$y + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y - 1}{x}$

चरण 11.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- \frac{1}{2} y^{2}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{1}{2} y^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$y + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y - 1}{x}$

चरण 11.5

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$y + 0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x y - 1}{x}$

चरण 11.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.6.1

$y$ और $0$ जोड़ें.

$y + \frac{d g}{d x} = \frac{x y - 1}{x}$

चरण 11.6.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} + y = \frac{x y - 1}{x}$

चरण 12

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{d g}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x y - 1}{x} - y$

चरण 12.1.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.2.1

भिन्न $\frac{x y - 1}{x}$ को दो भिन्नों में विभाजित करें.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x y}{x} + \frac{- 1}{x} - y$

चरण 12.1.2.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.2.2.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x y}{x} + \frac{- 1}{x} - y$

चरण 12.1.2.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d g}{d x} = y + \frac{- 1}{x} - y$

चरण 12.1.2.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{d g}{d x} = y - \frac{1}{x} - y$

चरण 12.1.3

$y - \frac{1}{x} - y$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.3.1

$y$ में से $y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x} + 0$

चरण 12.1.3.2

$- \frac{1}{x}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$

चरण 13

$g (x)$ को खोजने के लिए $- \frac{1}{x}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 13.3

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$g (x) = - \int \frac{1}{x} d x$

चरण 13.4

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$g (x) = - (\ln (| x |) + C)$

चरण 13.5

सरल करें.

$g (x) = - \ln (| x |) + C$

चरण 14

$f (x, y) = x y - \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = x y - \frac{1}{2} y^{2} - \ln (| x |) + C$

चरण 15

$y^{2}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = x y - \frac{y^{2}}{2} - \ln (| x |) + C$