कैलकुलस उदाहरण

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y = \ln (x)$

चरण 1

जाँच करें कि क्या समीकरण का बायाँ पक्ष $(x + 1) y$ पद के व्युत्पन्न का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x + 1$ और $g (x) = y$ है.

$(x + 1) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$(x + 1) y' + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

चरण 1.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$(x + 1) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$(x + 1) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 1.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(x + 1) y' + y (1 + 0)$

चरण 1.6

$1$ और $0$ जोड़ें.

$(x + 1) y' + y \cdot 1$

चरण 1.7

$\frac{d y}{d x}$ को $y'$ से प्रतिस्थापित करें.

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

चरण 1.8

$y$ और $1$ को पुन: क्रमित करें.

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

चरण 1.9

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y$

चरण 2

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [(x + 1) y] = \ln (x)$

चरण 3

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [(x + 1) y] d x = \int \ln (x) d x$

चरण 4

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$(x + 1) y = \int \ln (x) d x$

चरण 5

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \ln (x)$ और $d v = 1$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$(x + 1) y = \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

चरण 5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$x$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$(x + 1) y = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

चरण 5.2.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$(x + 1) y = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

चरण 5.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$(x + 1) y = \ln (x) x - \int d x$

चरण 5.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$(x + 1) y = \ln (x) x - (x + C)$

चरण 5.4

सरल करें.

$(x + 1) y = \ln (x) x - x + C$

चरण 6

$(x + 1) y = \ln (x) x - x + C$ के प्रत्येक पद को $x + 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$(x + 1) y = \ln (x) x - x + C$ के प्रत्येक पद को $x + 1$ से विभाजित करें.

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\ln (x) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

चरण 6.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$x + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\ln (x) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

चरण 6.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\ln (x) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

चरण 6.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = \frac{\ln (x) x}{x + 1} - \frac{x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

चरण 6.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{\ln (x) x - x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

चरण 6.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{\ln (x) x - x + C}{x + 1}$

चरण 6.3.4

गुणनखंडों को $\ln (x) x - x + C$ में पुन: क्रमित करें.

$y = \frac{x \ln (x) - x + C}{x + 1}$