कैलकुलस उदाहरण

$(y - x + x y \cot (x)) d x + x d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = y - x + x y \cot (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y - x + x y \cot (x)]$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y - x + x y \cot (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$

चरण 1.2.3

चूंकि $y$ के संबंध में $- x$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0 + \frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $x \cot (x)$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $x y \cot (x)$ का व्युत्पन्न $x \cot (x) \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0 + x \cot (x) \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.3.2

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0 + x \cot (x) \cdot 1$

चरण 1.3.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0 + x \cot (x)$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + x \cot (x)$

चरण 1.4.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cot (x) + 1$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $x \cot (x) + 1$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $1$ प्रतिस्थापित करें.

$x \cot (x) + 1 = 1$

चरण 3.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$x \cot (x) + 1 = 1$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x \cot (x) + 1$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{x \cot (x) + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

चरण 4.2

$1$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{x \cot (x) + 1 - 1}{N}$

चरण 4.3

$x$ को $N$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$x$ को $N$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{x \cot (x) + 1 - 1}{x}$

चरण 4.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

$1$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{x \cot (x) + 0}{x}$

चरण 4.3.2.2

$x \cot (x)$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{x \cot (x)}{x}$

चरण 4.3.3

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x \cot (x)}{x}$

चरण 4.3.3.2

$\cot (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\cot (x)$

चरण 4.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int \cot (x) d x}$

चरण 5

इंटिग्रल $e^{\int \cot (x) d x}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$x$ के संबंध में $\cot (x)$ का इंटीग्रल $\ln (| \sin (x) |)$ है.

$μ (x, y) = e^{\ln (| \sin (x) |) + C}$

चरण 5.2

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{\ln (| \sin (x) |)} + C$

चरण 5.2.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$μ (x, y) = | \sin (x) | + C$

चरण 6

$(y - x + x y \cot (x)) d x + x d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $\sin (x)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$y - x + x y \cot (x)$ को $\sin (x)$ से गुणा करें.

$(y - x + x y \cot (x)) \sin (x) d x + x d y = 0$

चरण 6.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\cot (x)$ को फिर से लिखें.

$(y - x + x y \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \sin (x) d x + x d y = 0$

चरण 6.2.2

$x y \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$x$ और $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ को मिलाएं.

$(y - x + y \frac{x \cos (x)}{\sin (x)}) \sin (x) d x + x d y = 0$

चरण 6.2.2.2

$y$ और $\frac{x \cos (x)}{\sin (x)}$ को मिलाएं.

$(y - x + \frac{y (x \cos (x))}{\sin (x)}) \sin (x) d x + x d y = 0$

$(y - x + \frac{y x \cos (x)}{\sin (x)}) \sin (x) d x + x d y = 0$

चरण 6.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(y \sin (x) - x \sin (x) + \frac{y x \cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)) d x + x d y = 0$

चरण 6.4

$\sin (x)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$(y \sin (x) - x \sin (x) + \frac{y x \cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)) d x + x d y = 0$

चरण 6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$(y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)) d x + x d y = 0$

चरण 6.5

$x$ को $\sin (x)$ से गुणा करें.

$(y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)) d x + x \sin (x) d y = 0$

चरण 7

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int x \sin (x) d y$

चरण 8

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = x \sin (x)$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = x \sin (x) y + C$

चरण 9

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = x \sin (x) y + g (x)$

चरण 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [x \sin (x) y + g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

चरण 11.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x \sin (x) y + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x \sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [x \sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

चरण 11.3

$\frac{d}{d x} [x \sin (x) y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

चूंकि $y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $x \sin (x) y$ का व्युत्पन्न $y \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ है.

$y \frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

चरण 11.3.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \sin (x)$ है.

$y (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

चरण 11.3.3

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$y (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

चरण 11.3.4

$y (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

चरण 11.3.5

$\sin (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$y (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

चरण 11.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$y (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

चरण 11.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y (x \cos (x)) + y \sin (x) + \frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

चरण 11.5.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} + x y \cos (x) + y \sin (x) = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

चरण 12

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{d g}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x y \cos (x)$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} + y \sin (x) = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x) - x y \cos (x)$

चरण 12.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $y \sin (x)$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$

चरण 12.1.3

$y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.3.1

गुणनखंडों को $y x \cos (x)$ और $- x y \cos (x)$ पदों में पुन: व्यवस्थित करें.

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + x y \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$

चरण 12.1.3.2

$x y \cos (x)$ में से $x y \cos (x)$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + 0 - y \sin (x)$

चरण 12.1.3.3

$y \sin (x) - x \sin (x)$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) - y \sin (x)$

चरण 12.1.3.4

$y \sin (x)$ में से $y \sin (x)$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = - x \sin (x) + 0$

चरण 12.1.3.5

$- x \sin (x)$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = - x \sin (x)$

चरण 13

$g (x)$ को खोजने के लिए $- x \sin (x)$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{d g}{d x} = - x \sin (x)$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x \sin (x) d x$

चरण 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int - x \sin (x) d x$

चरण 13.3

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$g (x) = - \int x \sin (x) d x$

चरण 13.4

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = \sin (x)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$g (x) = - (x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x)$

चरण 13.5

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$g (x) = - (x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x)$

चरण 13.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.6.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x)$

चरण 13.6.2

$\int \cos (x) d x$ को $1$ से गुणा करें.

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x)$

चरण 13.7

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का इंटीग्रल $\sin (x)$ है.

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C)$

चरण 13.8

$- (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C)$ को $- (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$g (x) = - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$

चरण 14

$f (x, y) = x \sin (x) y + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = x \sin (x) y - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$

चरण 15

$f (x, y) = x \sin (x) y - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x, y) = x \sin (x) y - (- x \cos (x)) - \sin (x) + C$

चरण 15.1.2

$- (- x \cos (x))$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (x, y) = x \sin (x) y + 1 (x \cos (x)) - \sin (x) + C$

चरण 15.1.2.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$f (x, y) = x \sin (x) y + x \cos (x) - \sin (x) + C$

चरण 15.2

गुणनखंडों को $f (x, y) = x \sin (x) y + x \cos (x) - \sin (x) + C$ में पुन: क्रमित करें.

$f (x, y) = x y \sin (x) + x \cos (x) - \sin (x) + C$