कैलकुलस उदाहरण

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \ln (x)$ , $y (1) = 2$

चरण 1

जाँच करें कि क्या समीकरण का बायाँ पक्ष $x^{2} y$ पद के व्युत्पन्न का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$x^{2} y' + y (2 x)$

चरण 1.4

$\frac{d y}{d x}$ को $y'$ से प्रतिस्थापित करें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

चरण 1.5

कोष्ठक हटा दें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

चरण 1.6

$y$ ले जाएं.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y$

चरण 2

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \ln (x)$

चरण 3

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \ln (x) d x$

चरण 4

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$x^{2} y = \int \ln (x) d x$

चरण 5

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \ln (x)$ और $d v = 1$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$x^{2} y = \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

चरण 5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$x$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$x^{2} y = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

चरण 5.2.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{2} y = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

चरण 5.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{2} y = \ln (x) x - \int d x$

चरण 5.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$x^{2} y = \ln (x) x - (x + C)$

चरण 5.4

सरल करें.

$x^{2} y = \ln (x) x - x + C$

चरण 6

$x^{2} y = \ln (x) x - x + C$ के प्रत्येक पद को $x^{2}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$x^{2} y = \ln (x) x - x + C$ के प्रत्येक पद को $x^{2}$ से विभाजित करें.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\ln (x) x}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 6.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\ln (x) x}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 6.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\ln (x) x}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 6.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1

$x$ और $x^{2}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1.1

$\ln (x) x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{x \ln (x)}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 6.3.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1.2.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{x \ln (x)}{x \cdot x} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 6.3.1.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{x \ln (x)}{x \cdot x} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 6.3.1.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 6.3.1.2

$x$ और $x^{2}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.2.1

$- x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{x \cdot - 1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 6.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.2.2.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 6.3.1.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 6.3.1.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{- 1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 6.3.1.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 7

$x$ के लिए $1$ और $y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$ में $y$ के लिए $2$ को प्रतिस्थापित करके $C$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$2 = \frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}}$

चरण 8

$C$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

समीकरण को $\frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

चरण 8.2

$\frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\ln (1) - 1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

चरण 8.2.2

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$\frac{0 - 1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

चरण 8.2.3

$0$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{- 1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

चरण 8.2.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.4.1

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$- 1 + \frac{C}{1^{2}} = 2$

चरण 8.2.4.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$- 1 + \frac{C}{1} = 2$

चरण 8.2.4.3

$C$ को $1$ से विभाजित करें.

$- 1 + C = 2$

चरण 8.3

$C$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$C = 2 + 1$

चरण 8.3.2

$2$ और $1$ जोड़ें.

$C = 3$

चरण 9

$3$ को $y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$ में $C$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$3$ को $C$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}$