कैलकुलस उदाहरण

$x \cos^{2} (y) d x + \tan (y) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = x \cos^{2} (y)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x \cos^{2} (y)]$

चरण 1.2

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $x \cos^{2} (y)$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)]$

चरण 1.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = y^{2}$ और $g (y) = \cos (y)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\cos (y)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [\cos (y)])$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 u \frac{d}{d y} [\cos (y)])$

चरण 1.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\cos (y)$ से बदलें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 \cos (y) \frac{d}{d y} [\cos (y)])$

चरण 1.4

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot x \cos (y) \frac{d}{d y} [\cos (y)]$

चरण 1.5

$y$ के संबंध में $\cos (y)$ का व्युत्पन्न $- \sin (y)$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cos (y) (- \sin (y))$

चरण 1.6

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x \cos (y) \sin (y)$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = \tan (y)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\tan (y)]$

चरण 2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $\tan (y)$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $\tan (y)$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $- 2 x \cos (y) \sin (y)$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $0$ प्रतिस्थापित करें.

$- 2 x \cos (y) \sin (y) = 0$

चरण 3.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$- 2 x \cos (y) \sin (y) = 0$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$0$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

चरण 4.2

$- 2 x \cos (y) \sin (y)$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{0 - (- 2 x \cos (y) \sin (y))}{M}$

चरण 4.3

$x \cos^{2} (y)$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$x \cos^{2} (y)$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{0 - (- 2 x \cos (y) \sin (y))}{x \cos^{2} (y)}$

चरण 4.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{0 + 2 (x \cos (y) \sin (y))}{x \cos^{2} (y)}$

चरण 4.3.2.2

$2$ और $x \cos (y) \sin (y)$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{0 + x \cos (y) \sin (y) \cdot 2}{x \cos^{2} (y)}$

चरण 4.3.2.3

कोष्ठक लगाएं.

$\frac{0 + x \cos (y) (\sin (y) \cdot 2)}{x \cos^{2} (y)}$

चरण 4.3.2.4

कोष्ठक लगाएं.

$\frac{0 + x (\cos (y) (\sin (y) \cdot 2))}{x \cos^{2} (y)}$

चरण 4.3.2.5

$\cos (y)$ और $\sin (y) \cdot 2$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{0 + x (\sin (y) \cdot 2 \cos (y))}{x \cos^{2} (y)}$

चरण 4.3.2.6

$\sin (y)$ और $2$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{0 + x (2 \cdot \sin (y) \cos (y))}{x \cos^{2} (y)}$

चरण 4.3.2.7

ज्या दोहरा कोण सर्वसमिका लागू करें.

$\frac{0 + x \sin (2 y)}{x \cos^{2} (y)}$

चरण 4.3.2.8

$0$ और $x \sin (2 y)$ जोड़ें.

$\frac{x \sin (2 y)}{x \cos^{2} (y)}$

चरण 4.3.3

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x \sin (2 y)}{x \cos^{2} (y)}$

चरण 4.3.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\sin (2 y)}{\cos^{2} (y)}$

चरण 4.3.4

ज्या दोहरा कोण सर्वसमिका लागू करें.

$\frac{2 \sin (y) \cos (y)}{\cos^{2} (y)}$

चरण 4.3.5

$\cos (y)$ और $\cos^{2} (y)$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.1

$2 \sin (y) \cos (y)$ में से $\cos (y)$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\cos (y) (2 \sin (y))}{\cos^{2} (y)}$

चरण 4.3.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.2.1

$\cos^{2} (y)$ में से $\cos (y)$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\cos (y) (2 \sin (y))}{\cos (y) \cos (y)}$

चरण 4.3.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\cos (y) (2 \sin (y))}{\cos (y) \cos (y)}$

चरण 4.3.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2 \sin (y)}{\cos (y)}$

चरण 4.3.6

अलग-अलग भिन्न

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$

चरण 4.3.7

$\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ को $\tan (y)$ में बदलें.

$\frac{2}{1} \tan (y)$

चरण 4.3.8

$x \cos^{2} (y)$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$2 \tan (y)$

चरण 4.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int 2 \tan (y) d y}$

चरण 5

इंटिग्रल $e^{\int 2 \tan (y) d y}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूँकि $2$ बटे $y$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$μ (x, y) = e^{2 \int \tan (y) d y}$

चरण 5.2

$y$ के संबंध में $\tan (y)$ का इंटीग्रल $\ln (| \sec (y) |)$ है.

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| \sec (y) |) + C)}$

चरण 5.3

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| \sec (y) |)} + C$

चरण 5.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \ln (| \sec (y) |)$ को सरल करें.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| \sec (y) |}^{2})} + C$

चरण 5.4.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$μ (x, y) = {| \sec (y) |}^{2} + C$

चरण 5.4.3

${| \sec (y) |}^{2}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$μ (x, y) = \sec^{2} (y) + C$

चरण 6

$x \cos^{2} (y) d x + \tan (y) d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $\sec^{2} (y)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$x \cos^{2} (y)$ को $\sec^{2} (y)$ से गुणा करें.

$x \cos^{2} (y) \sec^{2} (y) d x + \tan (y) d y = 0$

चरण 6.2

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\sec (y)$ को फिर से लिखें.

$x \cos^{2} (y) {(\frac{1}{\cos (y)})}^{2} d x + \tan (y) d y = 0$

चरण 6.3

उत्पाद नियम को $\frac{1}{\cos (y)}$ पर लागू करें.

$x \cos^{2} (y) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)} d x + \tan (y) d y = 0$

चरण 6.4

$\cos^{2} (y)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

$x \cos^{2} (y)$ में से $\cos^{2} (y)$ का गुणनखंड करें.

$\cos^{2} (y) x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)} d x + \tan (y) d y = 0$

चरण 6.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\cos^{2} (y) x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)} d x + \tan (y) d y = 0$

चरण 6.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x \cdot 1^{2} d x + \tan (y) d y = 0$

चरण 6.5

एक का कोई भी घात एक होता है.

$x \cdot 1 d x + \tan (y) d y = 0$

चरण 6.6

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$x d x + \tan (y) d y = 0$

चरण 6.7

$\tan (y)$ को $\sec^{2} (y)$ से गुणा करें.

$x d x + \tan (y) \sec^{2} (y) d y = 0$

चरण 7

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int x d x$

चरण 8

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = x$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 9

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

चरण 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \tan (y) \sec^{2} (y)$

चरण 11.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $\frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \tan (y) \sec^{2} (y)$

चरण 11.3

चूंकि $y$ के संबंध में $\frac{1}{2} x^{2}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $\frac{1}{2} x^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \tan (y) \sec^{2} (y)$

चरण 11.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$0 + \frac{d g}{d y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$

चरण 11.5

$0$ और $\frac{d g}{d y}$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$

चरण 12

$g (y)$ को खोजने के लिए $\tan (y) \sec^{2} (y)$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{d g}{d y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \tan (y) \sec^{2} (y) d y$

चरण 12.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int \tan (y) \sec^{2} (y) d y$

चरण 12.3

मान लीजिए $u = \sec (y)$ .फिर $d u = \sec (y) \tan (y) d y$ , तो $\frac{1}{\sec (y) \tan (y)} d u = d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1

मान लें $u = \sec (y)$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1.1

$\sec (y)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [\sec (y)]$

चरण 12.3.1.2

$y$ के संबंध में $\sec (y)$ का व्युत्पन्न $\sec (y) \tan (y)$ है.

$\sec (y) \tan (y)$

चरण 12.3.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$g (y) = \int u d u$

चरण 12.4

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u$ का समाकलन $\frac{1}{2} u^{2}$ है.

$g (y) = \frac{1}{2} u^{2} + C$

चरण 12.5

$u$ की सभी घटनाओं को $\sec (y)$ से बदलें.

$g (y) = \frac{1}{2} \sec^{2} (y) + C$

चरण 13

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \sec^{2} (y) + C$

चरण 14

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \sec^{2} (y) + C$

चरण 14.2

$\frac{1}{2}$ और $\sec^{2} (y)$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{\sec^{2} (y)}{2} + C$